高三数学数列（二）（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：数列（二）二.重点、难点（1）定义：（2）关键量：（3）通项：（4）前n项和：（5）若，则成等比数列成等比数列，成等差数列（6）任意同号实数，有等比中项（7）公式法求和（8）裂项法求和（9）错位相减求和【典型例题】[例1]数列，若数列成等比数列，求。解：，∴∴∴或[例2]等比数列，，，求证解：*，*>0，*>0∴[例3]等差数列，等比数列，，，，求。解：∴ ∴∴∴∴∴或[例4]等比数列，中最大项是54，求解：（1）∴不合题意（2）∴∴中最大∴∴∴[例5]等比数列，，前n项和，数列满足，，求使的n的最小值。解：首项，公比为即[例6]等比数列首项公比均为，，若，求的范围。解：对一切成立，即（1）最小值为∴（2）综上所述[例7]求和（1）（2）（3）（4）（5）（6）解：（1）（2），∴（3）∴（4）（5）（6）∴[例8]在等比数列中，已知，，求前8项的和。分析：利用已知的两个等式条件，可得和q的两个方程，解之可得数列，从而便可求得。解析：解法一：设数列的公比为q，依题意①∴将代入到①式，得，，舍去。将代入到①式得，。当，，，当，，。解法二：因为是等比数列，所以依题设得∴，，因为是实数列，所以故舍去，得，。从而公比q的值为当q=2时，，∴当时，，∴[例9]设为等比数列，，已知，。求：（1）数列的首项和公比；（2）数列的通项公式。解析：（1）设等比数列的公比为q，则， ，∴（2）解法一：由（1）可知∴∴∴解法二：设由（1），知∴∴[例10]记等比数列的前n项和为，已知，，求的通项公式。解析：设的公比为q，由，知，所以得①②由①②式得整理得，解得所以或将代入①式得所以将代入①式得所以[例11]是无穷等比数列的前n项和，且公比，已知1是和的等差中项，6是与的等比中项。求：（1）和；（2）此数列的通项公式；（3）数列的前n项和。解析：（1）根据已知条件整理得解得即（2） ，则可解得∴（3）由（2）得[例12]若是方程的两实根，而且成等比数列。（1）求m的值；（2）数列的通项公式为，且是它的前n项和，求证：。分析：根据方程根与系数的关系求出与m的关系，从而得出m的值；利用裂项法求，利用单调性证明不等式。解析： 为方程的两实根∴∴，且，又成等比数列∴∴∴（2）证明： 又∴，所以要证，只要证即可 ∴，∴故，得证[例13]数列的前n项和记为，已知，，证明：（1）数列是等比数列；（2）。证明：（1） ，∴整理得所以故是以2为公比的等比数列（2）由（1）知于是又故因此对于任意正整数，都有。在等比数列中，前n项和为，若成等差数列，则成等差数列。（1）写出上述命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明。解析：（1）逆命题：在等比数列中，前n项和为，若成等差数列，则成等差数列。（2）设的首项为，公比为q由已知得∴ ∴∴或当时， ∴∴不成等差数列；当时，∴成等差数列。综上得当公比时，逆命题为假；当公比时，逆命题为真。[例14]已知为函数图象上的点，为函数图象上的点，设，其中。（1）求证：数列既不是等差数列也不是等比数列；（2）试比较与的大小。解析：（1）证明：依题意，，，。假设是等差数列，则，即，产生矛盾∴不是等差数列假设是等比数列，则，即，有，产生矛盾∴也不是等比数列（2） ，∴又 ，∴∴∴[例15]设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（1）求的通项；（2）求的前n项和。解析：（1）由得即可得 ∴解之得，因而，。（2）因为是首项，公比的等比数列，故则数列的和两式相减即[例16]已知数列满足是首项为1，公比为的等比数列。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和。解析：（1）当时，∴因此（2）∴令①则②由①－②得∴又∴【模拟试题】1.已知数列，满足，那么的值为（）A.2002×2001B.C.2003×2002D.2003×20042.设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A.1B.2C.4D.63.正项等比数列满足：，，，则数列的前10项的和是（）A.65B.－65C.25D.－254.等比数列的首项，前n项为，已知，则（）A.B.C.2D.5.设是一次函数，若，且成等比数列，则等于（）A.B.C.D.6.已知等差数列的前n项和为，若，，...
