高三数学数列（一）（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：数列（一）二.重点、难点：（1）定义：（2）关键量：（3）通项公式：，（4）前n项和：（5）①若∴②成等差数列③，成等差数列④，成等比数列⑤任意两数有等差中项（6）由递推关系，求（7）由，求【典型例题】[例1]等差数列中，，求。解：或[例2]等差数列中，，则=解：成等差数列，∴[例3]等差数列共项，所有项之和323，其中奇数项和为171，求，解：∴∴∴[例4]等差数列，前n项和为，，且，求。解：[例5]数列（1），求的最大值。（2），求的公式。解：，，∴最大值为[例6]求（1）（2）（3）（4）（5）解：（1）等差数列∴（2）……叠加：（3）等比数列，∴（4）……相乘：（5）∴∴[例7]求（1）（2）（3）（4）解：（1）∴（2）∴∴∴（3）∴……∴（4）∴∴或AP首位∴∴∴[例8]已知数列；（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；（4）在区间内有无，数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由。解析：只需设（1）令，得第10项（2）令，得此方程无自然数解，所以不是该数列中的项。（3）证明： 又∴∴（4）令∴∴∴∴当且仅当时，上式成立，故区间内有数列中的项，且只有一项为[例9]已知，并记。（1）证明：；（2）试确定实数m的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，恒成立。解析：（1）证明： ∴（2） 恒成立∴又由（1）知为增函数，且∴则问题转化为解关于m的不等式令，则有解得且又 即∴或解得或[例10]等差数列的前n项和记为，已知，。（1）求通项；（2）若，求n。分析：由等差数列的通项公式，列方程组求出和d。解析：（1）由，，，得方程组解得所以（2）由，得方程解得或（舍去）[例11]设为等差数列，为数列的前n项和，已知，，为数列的前n项和，求。解析：设等差数列的公差为d，则 ，∴即解得，∴ ∴是等差数列，首项为，公差为∴[例12]已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，（1）求通项；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c；（3）求的最大值。解析：（1） 为等差数列∴又∴是方程的两实根又公差∴∴，∴∴∴（2）由（1）知∴∴，， 是等差数列∴即∴∴（c=0舍去）故（3）由（2）得∴当且仅当，即时取等号∴即的最大值为[例13]设是等差数列的前n项的和，已知与的等比中项为，与的等差中项为1，求等差数列的通项。解析：设等差数列的首项为，公差为d，则，前n项和，依题意得∴解之得或∴或∴所求通项公式为或[例14]已知数列是等差数列，其前n项和为，，。（1）求数列的通项公式；（2）设是正整数，且。证明：。解析：（1）设等差数列的公差是d，依题意得，解得，∴数列的通项公式为（2）证明： ∴ 又∴∴[例15]设无穷等差数列的前n项和为。（1）若首项，公差，求满足的正整数k；（2）求所有的无穷等差数列，使得对于一切正整数k都有成立解析：（1）当时由，得即又，所以（2）设数列的公差为d，则在中分别取，得即由（1）得或当时，代入（2）得或若，则，从而成立；若，则，由，，知，故所得数列不符合题意。当时，代入（2）得，解得或若，则，从而成立；若，则，从而成立综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：①：，即0，0，0，……；②：，即1，1，1，……；③：，即1，3，5，……。[例16]已知正项数列，其前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项。解析： ①∴解之得或又②由①－②得即 ∴当时，，则不成等比数列∴当时，，，有∴∴【模拟试题】1.等差数列中，首项，公差，如果，则序号n等于（）A.400B.401C.402D.4032.等差数列的公差为d，前n项和为，当首项与d变化时，是一个定值，则下列各数中也为定值的是（）A.B.C.D.3.是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有（）A.B.C.D.4.已知数列的通项公式是，其前n项和，则项数n等于（）A.3B.4C.5D.65.如果数列的前n项和，那么这个数列（）A.是等差数列但不是等比数列B.是等比数列但不是等差数列C.既是等差数列又是等比数列D.既不是等差数列又不是等比数列6.某林厂年初有森林木材存量，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x，...
