高三数学数列（三）（理）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：数列（三）二.重点、难点重点、难点1.等差等比数列综合题2.数列与其它章节知识综合3.数列应用题【典型例题】[例1]一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。解：等差数列为∴∴∴代入（1）①②∴此三数为2、6、18或、、[例2]等差数列中，，，是等比数列，，，所有项和为20，求：（1）求（2）解不等式解：（1） ∴∴∴不等式[例3]等差，等比，，，，求证：解：∴*∴∴∴时，[例4]一件家用电器现价2000元，可实行分期付款，每月付款一次且每次付款数相同，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算（每一个月的利息计入第二个月的本金），那么每期应付款多少？（分析：这是一个分期付款问题，关键是计算各期付款到最后一次付款时所生的利息，并注意到各期所付款以及所生利息之和，应等于所购物品的现价及这个现价到最后一次付款所生利息之和。解析一：设每期应付款x元第1期付款与到最后一次付款时所生利息之和为元，第2期付款与到最后一次付款时所生利息之和为元，……，第12期付款没有利息，所以各期付款连同利息之和为又所购电器的现价及利息之和为∴解得元∴每期应付款176元解析二：设每期付款x元，则第1期还款后欠款第2期还款后欠款……第12期还款后欠款为第12期还款后欠款应为0∴解得元∴每期应还款176元[例5]已知数列为等比数列，，。（1）求数列的通项公式；（2）设是数列的前n项和，证明：。解析：（1）设等比数列的公比为q则，依题意，得方程组解此方程组得故数列的通项公式为（2）证明： 即[例6]数列中，，，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，求；（3）设，，是否存在最大的整数m，使得对任意，均有总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。解析：（1）依题意，知数列是等差数列由知∴所求数列的通项公式是（2）由知当时，，当时，∴当n时，当时，故（3）∴随n的增加而递增，的最小值为要使，只要，即得∴最大整数m存在，m的值为7[例7]函数对任意都有。（1）求和的值；（2）数列满足，数列是等差数列吗？请给予证明；（3），。试比较与的大小。解析：（1） ∴令，得即（2）以上两式相加，得∴又故数列是等差数列（3）∴[例8]（1）在等差数列中，，，求满足的所有n值；（2）在等比数列中，，，，求n，q。解析：（1）设首项为，公差为d，则∴，且∴∴∴，解得或（2） ，∴∴或当时，则∴∴，此时同理，当，时，∴或[例9]已知数列的前n项和为，又有数列，它们满足关系，对于，有，求证：是等比数列，并写出它的通项公式。解析：因为①所以②所以①－②得即又所以由可得所以故，对于均成立所以数列是等比数列其通项[例10]设数列和满足，，，且数列是等差数列，数列是等比数列。（1）求数列和的通项公式；（2）是否存在，使？若存在，求出k；若不存在，说明理由。解析：（1）由已知，，∴时，也适合∴又，而∴即∴数列的通项公式分别为，（2）设当时为k的增函数，也为k的增函数∴时，又∴不存在k，使[例11]某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元。（1）该船捕捞几年开始赢利（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）？（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：①当年平均赢利达到最大值时，以26万元的价格卖出；②当赢利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出。问哪一种方案较为合算？请说明理由。解析：（1）设捕捞n年后开始赢利，赢利为y元，则由，得∴∴∴，即捕捞3年后，开始赢利（2）①平均赢利为当且仅当，即时，年平均利润最大∴经过7年捕捞后年平均利润最大，共赢利为12×7+26=110万元② ∴当时，y的最大值为102即经过10年捕捞赢利总额最大，共赢利102+8=110万元故两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算。[例12]已知数列的前n项的和为，若（1）求数列的通项公式；（2）令①当n为何整数时，；②若对一切正整数n，总有，求实数m...
