数列的极限一周强化一、一周知识概述在高一我们学习了数列的有关概念和数列通项公式的求法，仔细研究了两个重要的数列——等差数列、等比数列．有一类数列，随着n不断增大，an与某一个常数无限接近，这种从变量的无限变化中研究其变化趋势的方法就是极限的思想，数列的极限是一个十分重要的概念，它有两种不同的定义形式：描述性定义和ε－N定义．理解数列的概念是开展数列极限的运算的基础．因此，掌握数列极限的四则运算法则，会求某些数列的极限是高考的基本要求．二、重点知识归纳及讲解1、数列极限的定义(1)描述性定义：如果当项数n无限增大时，无穷数列{an}的项an无限地趋近于某个常数A(即|an－A|无限地接近于0)，那么就说{an}以A为极限，或者说A是数列{an}的极限．记作：，也可记作：n→∞时，an→A．(2)ε－N定义对于无穷数列{an}，如果存在一个常数A，无论预先指定的多么小的正数ε，都能在数列中找到一项aN，使得这一项后面的所有项与A的差的绝对值都小于ε，即当n＞N时，|an－A|＜ε恒成立，我们把常数A叫做数列{an}的极限，记作：，也可以写成：当n→∞时，an→A．数列的极限的描述性定义只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义，而ε－N定义则从定量化角度进行刻画，且与高等数学联系较紧．2、数列极限的四则运算法则如果，那么，，．特别地：3、常用的几个极限用心爱心专心(1)(2)(3)4、无穷递缩等比数列各项的和一般地，设公比q(q≠1)的无穷等比数列{an}(n=1,2,…)则它的前n项和为当|q|＜1时，，把|q|＜1的无穷等比数列前n项的和Sn，当n→∞时的极限叫无穷等比数列各项的和，记为例1、数列的通项公式是，则该数列{an}在第________项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于．解析：．∵n＞999，故N=999．第999项后面的所有各项与1的差的绝对值都小于．评析：用心爱心专心此题考查数列极限定义的理解．例2、已知等差数列的前三项为a，4，3a，前n项的和为Sn，Sk=2550．(1)求a及k的值；(2)求．解：(1)设该等差数列{an}，则a1=a，a2=4，a3=3a，Sk=2550，由已知有a＋3a=2×4，解得首项a1=a=2，又d=a2－a1=4－2=2，代入公式得：∴k2＋k－2550=0，解得k=50，k=－51(舍去)∴a=2，k=50(2)由，得Sn=n(n＋1)评析：本小题考查数列和数列极限等基础知识，以及推理能力和运算能力．三、难点知识剖析用心爱心专心求数列的极限以及利用数列极限的方法解决一些问题是本讲的难点．常见的几类数列极限的类型及方法有：①“”型：分子、分母分别求和再化简转化或约去为0的公因子；②“”型：分子、分母先求和，再化简，转化为有极限或分子分母同时除以n的幂；③“∞－∞”型：将其看作分母为1的分式，转化为求极限．除了上述几种基本类型外，还应注意利用有理化因子变形；利用一些已知极限等求极限，在求含参数的式子的极限时，注意对参数的值进行分类讨论，分别确定极限是否存在，若存在求出值．例3、求下列极限．(1)求；(2)已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1=b(b≠0)求；(3)求解析：本题所给出的都是无穷项的形式，因此先要求出数列的前n项和，然后再求极限．(2)∵等比数列{an}的公比q＞1且a1=b≠0用心爱心专心又q＞1用心爱心专心
