复数（理）一、一周知识概述本周学习的内容是高三数学选修Ⅱ第四章复数.即复数的概念、复数的运算，包括复数的加法与减法、复数的乘法与除法，以及数系的扩充和复数与向量的关系.二、重点难点知识讲解1、虚数单位：（1）它的平方等于-1，即；（2）它与实数可以进行四则运算，原有的加、乘运算律仍然成立。2、复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，一般用z表示；全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。实数可以比较大小，在复数集C中不等的两个复数是否可以比较大小关系？在复数集内难以按照通常意义上的大小关系对两个复数作出规定，也就是说，在复数集内不能规定两个复数的大小，当然对复数集内的两个实数，是可以按照原有的实数的大小关系来进行比较的（4）共轭复数：两个复数实部相等，而虚部互为相反数的两个复数叫共轭复数。如3＋i与3－i互为共轭复数共轭复数的性质：特殊地，一个实数a的共轭复数是它本身。思考：若一个复数的共轭复数是它本身，则这个数是否一定是实数？3、复数的表示（1）把a＋bi（a，b∈R）称为复数的代数表示方法。（2）注意到任何一个复数a＋bi都与一个有序数对（a，b）一一对应。而有序数对的集合M在引进直角坐标系后，与平面上的点集之间也是一一对应的。这样以来，复数也可以用复平面上的点来表示。例如，复数z＝2＋3i可用复平面上的点Z（2，3）来表示，这种表示复数的方法称为复数的几何表示。（3）复数的向量表示：4、复数的模：已知复数z，|z|=表示OZ的长度，叫向量的模。模的性质如：5、复数的分类：复数z=a+bi6、复数与点的轨迹：（1）两点间的距离公式：d=|z1－z2|；（2）线段的中垂线：|z－z1|=|z－z2|；（3）圆的方程：|z－p|=r（以点P为圆心，r为半径）；（4）椭圆：|z－z1|＋|z－z2|=2a（2a为正常数，2a>|z1－z2|）；（5）双曲线：|z－z1|－|z－z2|=2a（2a为正常数，2a<|z1－z2|）.7、基本思想，基本方法（1）数形结合，这是本章的主要数学思想，例如复数本身的几何意义及四则运算的几何意义等；（2）方程的思想，主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等；（3）解复数题的基本方法：（1°）设z=a＋bi（a，b∈R）代入法；（2°）整体法.通过本周学习，我们每个同学应认识到复数集是在实数集的基础上，通过引进虚数单位i而扩充得到的.因此，在复数集中，除继续保持实数集中原有的一些运算意义和规律外，还产生了区别于实数的不同规律和性质．学习过程中应注意把握复数和实数间的异同点，整体把握处理复数问题的常用方法，熟悉复数问题实数化处理的化归思想，使得复数成为解决一些综合问题的有力工具.三、例题点评例1、（1）（2）分析：（1）因为任何一个复数a都可以表示成x+yi的形式，欲求a，只需求x,y，把a=x+yi代入已知等式中，根据复数相等的条件得到x,y的方程组。（2）进行复数的乘除法化简复数z，代入条件式，由复数相等的条件得到a,b的方程组解之。解：（1）（2）例2、在复平面内，向量对应的复数是1－i，将向左平移一个单位后得到，则点P0对应的复数为（）A、1－iB、1－2iC、－1－iD、－i[解析]分析：求P0对应的复数，根据题意只要知道，从而可求P0对应的复数.解答：如图所示，由三角形法则知对应的复数是－1. 对应的复数是1－i.∴P0对应的复数即对应的复数是－1＋(1－i)=－i，故应选D.答案：D例3、设m∈R，复数，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围.分析：先作加法z1＋z2，因为z1＋z2是虚数，利用虚部不为零解之.解答： z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m≠－2，∴m≠5，m≠－3且m≠－2（m∈R）.点评：题中z1＋z2是虚数，须虚部不为零，同时要注意实部、虚部中若含分母，一定要使分母不为零.例4、设复数满足||z＋4－3i|－2|=2－|z＋4－3i|，求|z|的最大值和最小值.分析：仔细观察、分析等式||z＋4－3i|－2|=2－|z＋4－3i|实质是一个实数等式，由其特点，根据实数的性质知，若|a|=－a，则a≤0，因此已知等式可化为|z＋4－3i|－2≤0.解答：由已知等式得|z＋4－3i|－2≤0.即|z－(－4＋3i)|≤2，它表示的是以点P(－4，3)为圆心，半径R=2的圆面，如图可知|z|=|OQ|时，|z|有最大值|OP|＋R=5＋2=7，|z|=|OM|...
