跳出10个解题陷阱“陷阱”,顾名思义,它是指人们在认识事物的过程中因认识的片面性而不知不觉地陷入其中的一种情况.数学中的陷阱题,往往针对某些概念、定理的掌握及运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生思维的惯性或弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷设置问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,难以识别,可以有效地暴露与检测出考生数学知识掌握的缺陷.陷阱一混淆概念——理解概念抓本质例1若z=sinθ-+i是纯虚数,则tan的值为()A.-7B.-C.7D.-7或-易错分析本题易混淆复数的相关概念,忽视虚部不为零的限制条件,导致所求tan的值为多解,从而错选D.答案A正确解析由纯虚数的概念,可知由①,得sinθ=,故cosθ=±=±=±,而由②,可得cosθ≠,故cosθ=-,所以tanθ==-.而tan===-7.故选A.▲跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析所求的问题,在明确概念的前提下再解答.本题要搞清楚虚数,纯虚数,实数与复数的概念.跟踪集训已知R是实数集,集合P={x|y=log2(-x2+2x+3)},Q={y|y=log2(-x2+2x+3)},则P∩Q=()A.(-1,3)B.(0,3)C.(-1,2]D.[-1,2]陷阱二错用结论——公式定理要记准例2函数g(x)=4sinxcosx的图象向左平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f=()A.B.C.D.易错分析该题易出现的问题有两个:一是不能确定函数解析式的变换与图象平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的伸缩变化与函数解析式变换之间的对应关系.答案D正确解析函数g(x)=4sinxcosx=2sin2x的图象向左平移个单位得到函数y=2sin2=2sin的图象,该函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)所得图象对应的函数为f(x)=2sin=2sin.所以f=2sin=2=2×=.故选D.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握变换前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;若向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上的点的横坐标变为原来的ω(ω>0)倍,则得到函数y=f的图象.跟踪集训函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin陷阱三忽视验证——特例情况要谨记例3已知椭圆+=1的半焦距为c,曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大c.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线l过点F,交曲线Γ于A,B两点,过A,B分别作曲线Γ的切线,交于点P,判断·是否为定值.若是,请给予证明并求出该定值;若不是,请说明理由.易错分析直线l过点F交曲线Γ于A,B两点,经常设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,漏掉了过点F的直线l与x轴垂直这一特殊情况,导致错误.正确解析(1)因为椭圆+=1的半焦距为c,所以c==1,因为曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,所以曲线Γ上任一点(x,y)(x≥0)到定点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离.根据抛物线的定义,知曲线Γ的轨迹为抛物线.设抛物线Γ的方程为y2=2px(p>0),所以=1,解得p=2,所以曲线Γ的方程为y2=4x.(2)·为定值0.证明如下:①当过点F的直线l与x轴垂直时,则直线l的方程为x=1,根据抛物线的对称性知,点P在x轴上,所以PF⊥AB,所以·=0.②当过点F的直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以Δ=(2k2+4)2-4k4=16k2+16>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(xP,yP),y1>0,y2<0,则x1+x2=2+,x1x2=1.由y2=4x(y>0),得y=2,y'=,所以过点A的切线PA的方程为y-y1=(x-x1),即y=+.由y2=4x(y<0),得y=-2,y'=-,所以过点B的切线PB的方程为y-y2=-(x-x2),即y=--;由得即P.所以直线PF的斜率kPF==-,所以kPF·k=-×k=-1,所以PF⊥AB.综上所述,·为定值,且定值为0.▲跳出陷阱破解椭圆、抛物线、直线、平面向量的综合问题需注意:一是活用定义可加快求解速度,还可避开烦琐的运算;二是注意特殊情况,如用点斜式设直线方程时,应注意直线斜率不存在的特殊情形;三是注意适时转化,如例3,将判断·是否为0转化为判断两直线斜率的积是否为-1.跟踪集训已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n+b(a≠0),且a1=3.(1)求...
