跳出10个解题陷阱数学中的陷阱题,往往针对考生学习某些概念、定理、运算中的薄弱环节,在考生容易出现错误的地方着手编拟,或是针对考生习惯思维、思维的弱点来设计障碍,或是针对考生解决某些问题的方法上的缺陷去构造问题.这些问题像现实生活中的陷阱那样,以假乱真,可以有效地检测并暴露出考生的认知缺陷.下面结合一些典型例题教你如何走出陷阱.陷阱一混淆概念致误——使用概念要明辨例1若z=sinθ-+i是纯虚数,则tan的值为()A.-7B.-C.7D.-7或-易错分析解决本题易忽视虚部不为零的限制条件.答案A正确解析由纯虚数的概念,可知由①,得sinθ=,故cosθ=±=±=±,而由②,可得cosθ≠,故cosθ=-,所以tanθ==-.所以tan===-7.故选A.▲跳出陷阱在解答概念类试题时,一定要仔细辨析试题待求的问题,在准确用好概念的前提下对试题进行解答,这样才能避免概念性错误.跟踪集训1.已知R是实数集,集合P={x|y=log2(-x2+2x+3)},Q={y|y=log2(-x2+2x+3)},则P∩Q=()A.(-1,3)B.(0,3)C.(-1,2]D.[-1,2]陷阱二错用结论失分——公式定理要记准例2函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的.所得函数解析式为()A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin易错分析解决该题易出现以下两个方面的问题:一是不能准确确定函数解析式的变换与图象左右平移方向之间的关系;二是记错函数图象上点的横坐标的变化规律与函数解析式的变换之间的关系.答案D正确解析将原函数图象向右平移个单位长度,所得函数解析式为y=sin=sin,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的得y=sin.故选D.▲跳出陷阱三角函数图象的平移与伸缩变换问题,关键是把握前后两个函数解析式之间的关系,熟记相关的规律.如函数y=f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x+m)的图象;若向右平移m(m>0)个单位,得到函数y=f(x-m)的图象.若函数y=f(x)的图象上点的横坐标变为原来的ω倍,则得到函数y=f的图象.跟踪集训2.函数f(x)的图象由函数g(x)=4sinxcosx的图象向左平移个单位,再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)而得到,则f=()A.B.C.D.陷阱三忽视特殊情况——特别情况要谨记例3已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+1(n∈N*),且a1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{nan}的前n项和Tn.易错分析解决本题易出现以下两个方面的问题:一是利用an=Sn-Sn-1建立an与an-1之间的关系时忽视n≥2的限制条件,而忽略对n=1时的讨论;二是求数列{nan}的前n项和Tn时,忽视该数列通项公式中n=1时的情况,直接求和不验证而导致失分.正确解析(1)当n=1时,由已知可得a1=2a2,即a2=a1=.当n≥2时,由已知Sn=2an+1(n∈N*),可得Sn-1=2an(n≥2,n∈N*),两式相减得an=2an+1-2an⇒2an+1=3an,即=,所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2=,公比为的等比数列,故当n≥2,n∈N*时有an=·.所以an=(2)记bn=nan=故当n=1时,T1=b1=1;当n≥2时,Tn=b1+b2+b3+…+bn=1+×+×+…+×+×,①Tn=+×+×+…+×+×,②①-②得,-Tn=-+1+×+×+…+×-×=+-×=+×-×=--×=-+-×=-1-×,所以Tn=2+(n-2)×.当n=1时,T1=2+(1-2)×=1,显然上式也成立.综上,Tn=2+(n-2)×,n∈N*.▲跳出陷阱解决数列问题一定要注意n的取值范围,求通项问题,要注意对首项的验证,如该题中用到an与Sn的关系式an=Sn-Sn-1,而该式成立的前提是n≥2;再如已知数列{an},当n≥2时,若有=q,则该数列不一定是等比数列,因为该式不包含=q,若要证明该数列是等比数列,则还需验证=q.例4在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆C的右焦点H作两条互相垂直的弦EF与MN.当直线EF的斜率为0时,|EF|+|MN|=7.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求|EF|+|MN|的取值范围.易错分析解决本题易忽视两条弦中一条斜率为0,另一条斜率不存在的情况.正确解析(1)由题意知e==,即a=2c,所以b2=a2-c2=3c2,当kEF=0时,有|EF|+|MN|=2a+=4c+3c=7,所以c=1,a=2,b=,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0,另一条弦所在直线的斜率不存在时,此时由题意知|EF|+|MN|=7;②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时,设E(x1,y1),F(x2,y2),且直线EF的方程为y=k(x-1),则直线MN的方程为y=-(x-1),将直线EF的方程代入椭圆方程中,整理得(3+4k2)x2...
