突破6类解答题三角函数问题重在“变”——变角、变式与变名三角函数类解答题是高考的热点,其起点低、位置前,但由于其公式多,性质繁,使不少同学对其有畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.(1)变角:已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用.如α=(α+β)-β=(α-β)+β,2α=(α+β)+(α-β),2α=(β+α)-(β-α).(2)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式,其手法通常有“常值代换”“逆用、变形用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.(3)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”“升次与降次”等.例(2016课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解析(1)由已知2cosC(acosB+bcosA)=c及正弦定理得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,①即2cosCsin(A+B)=sinC,故2cosCsinC=sinC.②可得cosC=,所以C=.(2)由已知得absinC=.又C=,所以ab=6.由已知及余弦定理得a2+b2-2abcosC=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即a+b=5.所以△ABC的周长为5+.①变式:利用正弦定理把已知等式中的边a,b,c变为sinA,sinB,sinC.②变角:利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理把等式中sinAcosB+sinBcosA变为sin(A+B)再变为sinC.跟踪集训(2017陕西西安八校联考)已知△ABC内接于单位圆,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acosA=ccosB+bcosC.(1)求cosA的值;(2)若b2+c2=4,求△ABC的面积.数列问题重在“归”——化归、归纳首项与公差(比)称为等差(比)数列的基本量.凡是涉及等差或等比数列的问题,通常是把已知条件化归为等差或等比数列的基本量间的关系,从而达到解决问题的目的,这种化归为基本量处理的方法,是等差或等比数列特有的方法,对于不是等差或等比的数列,可从简单的特殊的情景出发,从中归纳出一般的规律、性质,这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法:观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数,也可根据题目的特征,将数列问题化归为函数问题来解决.例(2017课标全国Ⅲ,17,12分)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列的前n项和.解析(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.所以an=(n≥2).①又由题设可得a1=2,从而{an}的通项公式为an=(n∈N*).(2)记的前n项和为Sn.由(1)知==-.②则Sn=-+-+…+-=.①归纳:通过条件“a1+3a2+…+(2n-1)an=2n”可归纳出“a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1)(n≥2)”进而得出{an}的通项公式.②化归:把数列的通项分拆后,用裂项相消法求和.跟踪集训(2017广西三市第一次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log4an+1,求{bn}的前n项和Tn.立体几何问题重在“转”——转化、转换立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深,解决这类题目的原则是转化、转换.转化——空间平行关系间的转化,垂直关系间的转化、平行与垂直关系间的转化以及平面几何与立体几何的互相转化等;转换——对几何体的面积、锥体体积考察顶点转换.例(2016课标全国Ⅲ,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN∥平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积解析(1)证明:由已知得AM=AD=2,取BP的中点T,连接NT,AT,由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2.又AD∥BC,故TNAM,所以四边形AMNT为平行四边形,于是MN∥AT.因为MN⊄平面PAB,AT⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB.①(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E,连接AE.由AB=AC=3得AE⊥BC,AE==.由AM∥BC得M到BC的距离为,故S△BCM=×4×=2.所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=·S△BCM·=.②①转化:平行关系间的转化.线∥线⇒线∥面.②转换:距离与体积的计算转换.点面距、点线距⇒体积的计算,由AE=⇒点M到BC的距离为;点N到平面ABCD的距离为PA⇒四面体N-BCM的体积.跟踪集训(2017四...
