巧用12个解题技法技法一特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐演算的过程,提高了解题的速度.特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法,应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效.例1(1)在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=()A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn(2)AD,BE分别是△ABC的中线,若||=||=1,且与的夹角为120°,则·=.答案(1)A(2)解析(1)解法一:a2=a1+ln,a3=a2+ln,…,an=an-1+ln(n≥2),将以上各式左、右两边分别相加并化简,得an=a1+ln=2+lnn.解法二:不妨取n=1,则有a2=a1+ln2=2+ln2.选项A,a2=2+ln2,合题意,但不能就此下结论,认定这个是答案;选项B,a2=2+ln2,也合题意;选项C,a2=2+2ln2,不合题意,排除;选项D,a2=3+ln2,不合题意,排除.再取n=2,则有a3=a2+ln=2+ln3,选项B,a3=2+2ln3,不合题意,排除B,故选A.(2)等边三角形为符合题意的△ABC的一个特例,则|AB|=,∴·=||||cos60°=.▲方法点睛(1)应用特例法排除干扰选项的关键在于利用选项的差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.(2)填空题的结论唯一或题设条件暗示答案为定值是应用此法的前提.跟踪集训1.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.2602.函数f(x)=cosx·log2|x|的图象大致为()3.如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线,分别交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=()A.1B.2C.D.技法二图解法(数形结合法)对于一些含有几何背景的题目,若能“数中思形”“以形助数”,则往往可以借助图形的直观性,迅速作出判断,简捷地解决问题,得出正确的结果.Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都是常用的图形.例2(1)设向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a·b=,(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值等于()A.B.C.D.1(2)(2016天津,14,5分)已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案(1)A(2)解析(1)解法一(几何法):如图,a=,b=,c=.由题意有∠AOB=,点C在圆M上.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.解法二(建系法或称坐标法):建立如图所示的坐标系,设点C的坐标为(x,y).设a==,b==,c==(x,y).则(a-c)·(b-c)=·=0.化简得+y2=,它的轨迹是图中圆M.当点C达到点D时,|c|最大,|c|max=||+||=sin+cos=.选A.(2)因为函数f(x)在R上单调递减,所以解得≤a≤.作出函数y=|f(x)|,y=2-的图象如图.由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2-有且仅有一个解;在(-∞,0)上,|f(x)|=2-同样有且仅有一个解,所以3a<2,即a<.综上可得≤a<,所以a的取值范围是.▲方法点睛图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决选择题或填空题中的应用,利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论,这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.跟踪集训1.函数y=|lox|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度b-a的最小值是()A.2B.C.3D.2.已知函数f(x)=和函数g(x)=log2x,则函数h(x)=f(x)-g(x)的零点个数为()A.1B.2C.3D.43.记集合P=,Q={(x,y)|0≤y≤}表示的平面区域分别为区域P,区域Q,P∩Q表示的平面区域为区域M,若向区域Q内撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在区域M内的概率为()A.B.C.D.技法三估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例3(1)(2015湖北,7,5分)在区间[0,1]上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥”的概率,p2为事件“|x-y|≤”的概率,p3为事件“xy≤”的概率,则()A.p1
