巧用12个解题技法技法一特例法在解决选择题和填空题时,可以取一个(或一些)特殊数值(或特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等)来确定其结果,这种方法称为特值法.特值法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,省去了推理论证、烦琐演算的过程,提高了解题的速度.例1(1)数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,则an=()A.2+lnnB.2+(n-1)lnnC.2+nlnnD.1+n+lnn(2)已知f(x)与g(x)是定义在R上的连续函数,如果f(x)与g(x)仅当x=0时的函数值为0,且f(x)≥g(x),那么下列情形不可能出现的是()A.0是f(x)的极大值,也是g(x)的极大值B.0是f(x)的极小值,也是g(x)的极小值C.0是f(x)的极大值,不是g(x)的极值D.0是f(x)的极小值,不是g(x)的极值(3)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若a、b、c成等差数列,则=.答案(1)A(2)C(3)解析(1)不妨取n=1,则有a2=a1+ln2=2+ln2.选项A,a2=2+ln2,合题意,但不能就此下结论,认定这个是答案;选项B,a2=2+ln2,也合题意;选项C,a2=2+2ln2,不合题意,排除;选项D,a2=3+ln2,不合题意,排除.再取n=2,则有a3=a2+ln=2+ln3,选项B,a3=2+2ln3,不合题意,排除B,故选A.(2)取f(x)=-x2与g(x)=-2x2,适合条件,且0是f(x)与g(x)的极大值,故A可能出现,排除A;取f(x)=2x2与g(x)=x2,适合条件,则0是f(x)与g(x)的极小值,故B可能出现,排除B;取f(x)=2|x|与g(x)=x满足题意,且0是f(x)的极小值,但不是g(x)的极值,故D可以出现,排除D,所以选C.(3)令a=3,b=4,c=5,则△ABC为直角三角形,cosA=,cosC=0,从而所求值为.▲方法点睛(1)应用特例法的关键在于确定选项的差异性,利用差异性选取一些特例来检验选项是否与题干对应,从而排除干扰选项.(2)填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件.跟踪集训1.(1)函数f(x)=cosx·log2|x|的图象大致为()(2)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,有()A.[-x]=-[x]B.=[x]C.[2x]=2[x]D.[x]+=[2x](3)如图,点P为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶点A、上顶点B分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2=()A.1B.2C.D.(4)AD,BE分别是△ABC的中线,若||=||=1,且与的夹角为120°,则·=.技法二估算法估算法就是不需要计算出代数式的准确数值,通过估算其大致取值范围从而解决相应问题的方法.该种方法主要适用于比较大小的有关问题,尤其是在选择题或填空题中,解答不需要详细的过程,因此可以通过猜测、合情推理、估算而获得,从而减少运算量.例2(1)若a=20.5,b=logπ3,c=log2sin,则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a(2)已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的二面角都是60°,底面三角形三边长分别是7、8、9,则此三棱锥的侧面积为()A.12B.24C.6D.18(3)若M为不等式组表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过M中的那部分区域的面积为()A.B.1C.D.2答案(1)A(2)B(3)C解析(1)由指数函数的性质可知y=2x在R上单调递增,而0<0.5<1,所以a=20.5∈(1,2).由对数函数的性质可知y=logπx,y=log2x均在(0,+∞)上单调递增,而1<3<π,所以b=logπ3∈(0,1);因为sin∈(0,1),所以c=log2sin<0,故a>b>c.(2)若底面三角形的边长都是8,则底面积为×82=16,这个面积当然比原来大了一点点,再用射影面积公式求出侧面积为32,四个选项只有B选项的24与之最接近,选B.(3)动直线x+y=a扫过M中的那部分区域如图中阴影部分所示.阴影部分的面积比1大,比S△OAB=×2×2=2小,故选C.▲方法点睛估算法可以省去很多推导过程和比较复杂的计算,节省时间,是发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.但要注意估算也要有依据,如本例(1)是根据指数函数与对数函数的单调性估计,从而比较三者的大小,其实质就是找一个中间值进行比较.本例(2)可以先求三角形ABC的面积为12,再利用射影面积公式求出侧面面积为24;你也可以先求出三角形的面积为12,之后求出P在底面的射影到各侧面的距离,都是三棱锥P-ABC的高的一半,再利用等体积法求得结果.跟踪集训2.(1)已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球的表面积是()A.πB.πC.4πD.π(2)已知函...
