活用16个二级结论结论一奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在集合D上的奇函数,则对任意的x∈D,都有f(x)+f(-x)=0.特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)max+f(x)min=0,且若0∈D,则f(0)=0.例1设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案2解析f(x)==1+,令g(x)=,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.跟踪集训1.(1)已知函数f(x)=ln(-3x)+1,则f(lg2)+f=()A.-1B.0C.1D.2(2)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是()A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2结论二函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x),若对任意的x∈R,总存在非零常数T,使得f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,T为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.(4)如果f(x)=f(x+a)+f(x-a)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=6a.例2已知定义在R上的函数f(x)满足f=-f(x),且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)=()A.-2B.-1C.0D.1答案A解析因为f=-f(x),所以f(x+3)=-f=f(x),则f(x)的周期T=3.则有f(1)=f(-2)=-1,f(2)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2014)+f(2015)+f(2016)-f(2016)=672×[f(1)+f(2)+f(3)]-f(2016)=-f(0+3×672)=-f(0)=-2,故选A.跟踪集训2.(1)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=则f(2014)=()A.-1B.0C.1D.2结论三函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称,特别地,若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若f(a+x)+f(b-x)=c,则y=f(x)的图象关于点中心对称.特别地,若f(a+x)+f(a-x)=2b恒成立,则y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称.例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意的x∈恒成立,则实数a的取值范围是()A.[-3,-1]B.[-2,0]C.[-5,-1]D.[-2,1]答案B解析由定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且在[1,+∞)上是增函数,可得函数图象关于直线x=1对称,且函数f(x)在(-∞,1)上递减,由此得出自变量离1越近,函数值越小.观察四个选项,发现0,1不存在于A,C两个选项的集合中,B中集合是D中集合的子集,故可通过验证a的值(取0与1时两种情况)得出正确选项.当a=0时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)化为f(2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|2-1|≤|x-1-1|,解得x≥3或x≤1,满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,由此排除A,C两个选项.当a=1时,不等式f(ax+2)≤f(x-1)化为f(x+2)≤f(x-1),由函数f(x)的图象特征可得|x+2-1|≤|x-1-1|,解得x≤,不满足不等式f(ax+2)≤f(x-1)对任意x∈恒成立,由此排除D选项.综上可知,选B.跟踪集训3.(1)若偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.(2)函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2016)+f(2017)+f(2018)的值为.结论四反函数的图象与性质若函数y=f(x)是定义在非空数集D上的单调函数,则存在反函数y=f-1(x).特别地,y=ax与y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,两函数图象在同一直角坐标系内关于直线y=x对称,即(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象上.例4设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2)答案B解析由题意知函数y=ex与y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线y=x对称,如图所示,两曲线上点之间的最小距离恰好是y=x与y=ex图象上点的最小距离的2倍,设y=ex上点P0(x0,y0)处的切线与y=x平行,有=1,解得x0=ln2,y0=1,所以y=x与y=ex图象上点的最小距离是(1-ln2),故所求距离为(1-ln2)×2=(1-ln2),故选B.跟踪集训4.若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,则x1+x2=()A.B.3C.D.4结论五两个对...
