压轴解答题(一)时间:45分钟分值:50分答案见184页1.已知椭圆+=1的右焦点为F,设直线l:x=5与x轴的交点为E,过点F且斜率为k的直线l1与椭圆交于A,B两点,M为线段EF的中点.(1)若直线l1的倾斜角为,求|AB|;(2)设直线AM交直线l于点N,证明:直线BN⊥l.2.已知f(x)=lnx-x3+2ex2-ax,a∈R,其中e为自然对数的底数.(1)若曲线f(x)在x=e处的切线斜率为e2,求a的值;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.3.已知椭圆+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率e=,短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)如图,点A为椭圆上的一动点(非长轴端点),AF2的延长线与椭圆交于B点,AO的延长线与椭圆交于C点,求△ABC面积的最大值.4.已知函数f(x)=mex-lnx-1.(1)当m=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当m≥1时,证明:f(x)>1.答案全解全析1.解析(1)由题意知,F(1,0),E(5,0),M(3,0).∵直线l1的倾斜角为,∴k=1.∴直线l1的方程为y=x-1.代入椭圆方程,可得9x2-10x-15=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=-.∴|AB|==·=×=.(2)证明:设直线l1的方程为y=k(x-1).代入椭圆方程,得(4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.设N(5,y0),∵A,M,N三点共线,∴=,∴y0=.而y0-y2=-y2=-k(x2-1)===0.∴直线BN∥x轴,即BN⊥l.2.解析(1)∵f(x)=lnx-x3+2ex2-ax,∴f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-3x2+4ex-a,∴f'(e)=+e2-a=e2,∴a=.(2)由lnx-x3+2ex2-ax=0,得-x2+2ex=a.记F(x)=-x2+2ex,x∈(0,+∞),则F'(x)=-2(x-e),x∈(e,+∞)时,F'(x)<0,F(x)递减,x∈(0,e)时,F'(x)>0,F(x)递增,∴F(x)max=F(e)=+e2,又x→0时,F(x)→-∞,x→+∞时,F(x)→-∞,故a<+e2.3.解析(1)由题意得2b=2,解得b=1,∵e==,a2=b2+c2,∴a=,c=1,故椭圆的方程为+y2=1.(2)①当直线AB的斜率不存在时,不妨取A,B,则C,故S△ABC=×2×=;②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),联立方程得化简得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,则|AB|===2·.点O到直线kx-y-k=0的距离d==,∵O是线段AC的中点,∴点C到直线AB的距离为2d=,∴S△ABC=|AB|·2d=··=2=2<.综上,△ABC面积的最大值为.4.解析(1)当m=0时,f(x)=-lnx-1,则f'(x)=-,f(1)=-1,则f'(1)=-1.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-1)=-(x-1),即y=-x.(2)证法一:当m≥1时,f(x)=mex-lnx-1≥ex-lnx-1.要证f(x)>1,只需证ex-lnx-2>0.设g(x)=ex-lnx-2,x>0,则g'(x)=ex-.设h(x)=ex-,x>0,则h'(x)=ex+>0.所以函数h(x)=g'(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增.因为g'=-2<0,g'(1)=e-1>0,所以函数g'(x)=ex-在(0,+∞)上有唯一零点x0,且x0∈.因为g'(x0)=0,所以=,即lnx0=-x0.当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,所以当x=x0时,g(x)取得极小值(也是最小值)g(x0).故g(x)≥g(x0)=-lnx0-2=+x0-2>0.综上,当m≥1时,f(x)>1.证法二:当m≥1时,f(x)=mex-lnx-1≥ex-lnx-1.要证f(x)>1,只需证ex-lnx-2>0.先证明ex≥x+1(x∈R).设h(x)=ex-x-1,则h'(x)=ex-1.因为当x<0时,h'(x)<0,当x>0时,h'(x)>0,所以当x<0时,函数h(x)单调递减,当x>0时,函数h(x)单调递增.所以h(x)≥h(0)=0,所以ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号).所以要证ex-lnx-2>0,只需证(x+1)-lnx-2>0,即证x-lnx-1>0.下面证明x-lnx-1≥0.设p(x)=x-lnx-1,则p'(x)=1-=.当01时,p'(x)>0,所以当01时,函数p(x)单调递增,所以p(x)≥p(1)=0,所以x-lnx-1≥0(当且仅当x=1时取等号).由于两次取等号的条件不同,所以ex-lnx-2>0.综上,当m≥1时,f(x)>1.
