高三数学二轮复习 冲刺提分作业 第三篇 多维特色练大题标准练 压轴解答题（三）文-人教版高三全册数学试题VIP免费

压轴解答题(三)时间:45分钟分值:50分1.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,其左焦点F1到点P(2,1)的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,则△F1MN内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线l的方程;若不存在,请说明理由.2.已知函数f(x)=x2-mlnx+n(m∈R).(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0,求实数m,n的值;(2)若-2≤m<0,对任意x1,x2∈(0,2],不等式|f(x1)-f(x2)|≤t恒成立,求t的最小值.3.已知椭圆C:+=1(a>b>0)过点T,且半焦距c=.(1)求椭圆C的标准方程;(2)如图,已知D,A(2,1),过点B(3,0)的直线l与椭圆相交于P,Q两点,直线AP,AQ与x轴分别相交于M,N两点,试问|DM|·|DN|是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.4.已知函数f(x)=lnx+(a>0).(1)若函数f(x)有零点,求实数a的取值范围;(2)证明:当a≥时,f(x)>e-x.答案全解全析1.解析(1)由题意得解得所以b2=a2-c2=3,故所求椭圆方程为+=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),令y1>0,y2<0,设△F1MN的内切圆的半径为R,易知△F1MN的周长为4a=8,所以=(MN+F1M+F1N)R=4R,若最大,则R最大,易求得=|F1F2|·|y1-y2|=y1-y2,由题设知直线l的斜率存在,且不为0,可设直线l的方程为x=my+1,联立消去x,整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-,所以y1-y2===,即=,令t=,则t≥1,===,令f(t)=3t+(t≥1),易知f(t)在[1,+∞)上单调递增,所以f(t)≥f(1)=4,则≤=3,当且仅当t=1,即m=0时,取得最大值3,此时R=,故所求内切圆的面积的最大值为,直线l的方程为x=1.2.解析(1)∵f(x)=x2-mlnx+n(m∈R),∴f'(x)=2x-.∵曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为x-y-1=0,∴2-m=1,f(1)=0,∴m=1,1+n=0,∴n=-1,∴m=1,n=-1.(2)∵f'(x)=2x-,-2≤m<0,∴f'(x)=2x->0在(0,2]上恒成立,故函数f(x)在(0,2]上单调递增.不妨设00在(0,2]上恒成立,故y=2x3+2x在(0,2]上是增函数,即ymax=2×23+2×2=20,∴2x3-mx≤20,∴t≥20,即t的最小值为20.3.解析(1)解法一:设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,则F1(-,0),F2(,0),由椭圆的定义可得2a=+=+=2,解得a=,∴b2=a2-c2=6-3=3.∴椭圆C的标准方程为+=1.解法二:∵c=,∴a2-b2=3,又椭圆+=1(a>b>0)过点T,则有+=1,故+=2,化简得2b4-3b2-9=0,得b2=3,∴a2=6,∴椭圆C的标准方程为+=1.(2)是.设直线l的方程为x=my+3,P(x1,y1),Q(x2,y2),当直线AP的斜率不存在时,直线BP与椭圆C相切,不符合题意,同理可得直线AQ的斜率存在,故直线AP的方程为y-1=(x-2),则M,即M,0,直线AQ的方程为y-1=(x-2),则N,即N.由得(2+m2)y2+6my+3=0,由Δ=36m2-12(2+m2)>0得m2>1,又y1+y2=-,y1y2=,所以|DM|·|DN|======,故|DM|·|DN|为定值,且|DM|·|DN|=.4.解析(1)解法一:由题意知函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-=.因为a>0,所以x∈(0,a)时,f'(x)<0,x∈(a,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.所以f(x)min=lna+1.又f(1)=ln1+a=a>0,所以当lna+1≤0,即00,则g'(x)=-(lnx+1).当x∈时,g'(x)>0;当x∈时,g'(x)<0.所以函数g(x)在上单调递增,在上单调递减.故x=时,函数g(x)取得最大值g=-ln=.又a>0,则0e-x,即证明当x>0,a≥时,lnx+>e-x,即证明xlnx+a>xe-x.令h(x)=xlnx+a,x>0,则h'(x)=lnx+1.当0时,f'(x)>0,所以函数h(x)在上单调递减,在上单调递增.所以h(x)max=h=-+a.故当a≥时,h(x)≥-+a≥.①令φ(x)=xe-x,则φ'(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x).当00;当x>1时,φ'(x)<0.所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以φ(x)max=φ(1)=.故当x>0时,φ(x)≤.②显然,不等式①、②中的等号不能同时成立.故当a≥时,f(x)>e-x.