中档解答题规范练(一)时间:50分钟分值:60分1.已知等比数列{an}的公比q>1,a1=1,且2a2,a4,3a3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bn=2nan,求数列{bn}的前n项和Tn.2.已知在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足sin2A+sinAsinB-6sin2B=0.(1)求的值;(2)若cosC=,求sinB的值.3.随着手机上网的普及,部分高中生过度使用手机上网严重影响了其身心健康发展,这已经成为高中教育中日益严重的问题.某学校为了了解学生使用手机上网情况,从甲、乙两个班级中各抽取了10名学生,得到他们每天使用手机上网时长(单位:小时)的统计表如下:上网时长/小时(0,1](1,2](2,3](3,4]甲班人数2422乙班人数3421(1)依据上述数据,估计甲班这10名学生每天使用手机上网的平均时长(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)若把每天使用手机上网时长超过3小时的定义为“非常过度上网”.①从甲、乙两班每天使用手机上网时长超过2小时的学生中任取2人,求至少有1人为“非常过度上网”的概率;②以频率估计概率,如果以甲、乙两班的20名学生为样本估计全校学生每天使用手机上网的情况,该校有2000名学生,估计该校学生中“非常过度上网”的人数.4.如图,四棱锥S-ABCD中,AB∥CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形,AB=BC=2,CD=SD=1.(1)证明:SD⊥平面SAB;(2)求四棱锥S-ABCD的高.5.(二选一)(Ⅰ)选修4—4:坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中,直线l的方程是y=kx,曲线C的参数方程是(α为参数),以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且两个坐标系有相同的单位长度.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且|AB|=2,求直线l的倾斜角β.(Ⅱ)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x+a|+2a,a∈R.(1)若对任意的x∈R,f(x)都满足f(x)=f(3-x),求f(x)+4<0的解集;(2)若存在x∈R,使得f(x)≤|2x+1|+a成立,求实数a的取值范围.答案全解全析1.解析(1)由2a2,a4,3a3成等差数列可得2a4=2a2+3a3,即2a1q3=2a1q+3a1q2,又q>1,a1=1,故2q2=2+3q,即2q2-3q-2=0,得q=2,因此数列{an}的通项公式为an=2n-1.(2)bn=2n×2n-1=n×2n,Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,②①-②得-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1,-Tn=-n×2n+1,Tn=(n-1)×2n+1+2.2.解析(1)因为sin2A+sinAsinB-6sin2B=0,所以a2+ab-6b2=0,所以(a+3b)(a-2b)=0,故a=-3b(舍去)或a=2b,则=2.(2)因为cosC===,所以c=b,sinC=,由正弦定理得=,即=,故sinB=.3.解析(1)甲班这10名学生每天使用手机上网的平均时长为=1.9(小时).(2)①甲、乙两班中上网时长超过2小时的学生有7人,其中3人为“非常过度上网”,记该3人分别为A,B,C,其余4人分别为1,2,3,4,则任取2人的基本事件为AB,AC,A1,A2,A3,A4,BC,B1,B2,B3,B4,C1,C2,C3,C4,12,13,14,23,24,34,共21个.记“至少有1人为‘非常过度上网’”为事件M,则包含的基本事件有12,13,14,23,24,34,共6个,故所求的概率P(M)=1-=.②甲、乙两班的20名学生中,“非常过度上网”的频率为,以此作为该校任取1名学生,该学生为“非常过度上网”的概率,则该校2000名学生中“非常过度上网”的人数为2000×=300.4.解析(1)证明:如图,取AB的中点E,连接DE,DB,则四边形BCDE为矩形,∴DE=CB=2,∴AD=BD=.∵△SAB为等边三角形,AB=2,∴SA=SB=AB=2.又SD=1,∴SA2+SD2=AD2,SB2+SD2=BD2,∴∠DSA=∠DSB=90°,即SD⊥SA,SD⊥SB,又SA∩SB=S,∴SD⊥平面SAB.(2)设四棱锥S-ABCD的高为h,则三棱锥S-ABD的高也是h.由(1),知SD⊥平面SAB.由VS-ABD=VD-SAB,得S△ABD·h=S△SAB·SD,∴h=.又S△ABD=AB·DE=×2×2=2,S△SAB=AB2=×22=,SD=1,∴h===.故四棱锥S-ABCD的高为.5.(Ⅰ)解析(1)由(α为参数)消去参数可得曲线C的普通方程为(x-)2+(y+1)2=9,即x2+y2-2x+2y-5=0,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式得曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-5=0.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx代入x2+y2-2x+2y-5=0得(1+k2)x2-(2-2k)x-5=0,则x1+x2=,x1·x2=-,故|x1-x2|===,所以|AB|=|x1-x2|=·=2.得=24,即-8k=-8,解得k=,由k=tanβ=得β=.所以直线l的倾斜角β为.(Ⅱ)解析(1)因为f(x)=f(3-x),x∈R,所以f(x)的图象关于直线x=对称,又f(x)=2+2a的图象关于直线x=-对称,所以-=,得a=-3.所以f(x)+4<0,即|2x-3|<2,所以-2<2x-3<2,1时,g(x)=因为存在x∈R,使得f(x)≤|2x+1|+a成立,等价于g(x)min=1≤0,矛盾.综上,实数a的取值范围是.
