中档解答题规范练(四)时间:50分钟分值:60分1.已知等比数列{an}的各项均为正数,a1=1,公比为q;等差数列{bn}中,b1=3,且{bn}的前n项和为Sn,a3+S3=27,q=.(1)求{an}与{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足cn=,求{cn}的前n项和Tn.2.如图,已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°.(1)若c=1,求△ABC面积的最大值;(2)若a=2b,求tanA.3.如图所示的几何QPABCD为一简单组合体,在底面ABCD中,∠DAB=60°,AD⊥DC,AB⊥BC.QD⊥平面ABCD,PA∥QD,PA=1,AD=AB=QD=2.(1)求证:平面PAB⊥平面QBC;(2)求组合体QPABCD的体积.4.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”?(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现从这5名学生中随机抽取3人,求至多有一人喜欢甜品的概率.附:K2=.P(K2≥k0)0.1000.0500.010k02.7063.8416.6355.(二选一)(Ⅰ)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心的极坐标为,半径为2,直线l与圆C交于M,N两点.(1)求圆C的极坐标方程;(2)当φ变化时,求弦长|MN|的取值范围.(Ⅱ)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|a-3x|-|2+x|.(1)若a=2,解不等式f(x)≤3;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥1-a+2|2+x|成立,求实数a的取值范围.答案全解全析1.解析(1)设数列{bn}的公差为d,∵a3+S3=27,q=,∴q2+3×3+d=27,q=,联立方程可求得q=3,d=3,∴an=3n-1,bn=3n.(2)由(1)得:Sn=,∴cn===-,∴Tn=1-+-+-+…+-=1-=.2.解析(1)由余弦定理得a2+b2-2abcos120°=1,a2+b2+ab=1≥2ab+ab=3ab,当且仅当a=b时取等号,解得ab≤,故S△ABC=absinC=ab≤,即△ABC面积的最大值为.(2)∵a=2b,∴由正弦定理得sinA=2sinB,又C=120°,∴A+B=60°,∴sinA=2sin(60°-A)=cosA-sinA,∴cosA=2sinA,∴tanA=.3.解析(1)证明:因为QD⊥平面ABCD,PA∥QD,所以PA⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC,又因为AB⊥BC,且AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,又BC⊂平面QBC,所以平面PAB⊥平面QBC.(2)连接BD.平面QDB将几何体分成四棱锥B-PADQ和三棱锥Q-BDC两部分,过B作BO⊥AD,因为PA⊥平面ABCD,BO⊂平面ABCD,所以PA⊥BO,又AD⊥OB,PA∩AD=A,所以BO⊥平面PADQ,即BO为四棱锥B-APQD的高,因为BO=ABsin∠BAD=,S四边形PADQ=3,所以VB-PADQ=·BD·S四边形APDQ=,因为QD⊥平面ABCD,且QD=2,又△BCD为顶角等于120°的等腰三角形,BD=2,故可求得S△BDC=,所以VQ-BDC=·S△BDC·QD=,所以组合体QPABCD的体积为+=.4.解析(1)将2×2列联表中的数据代入公式,计算得K2==≈4.762.∵4.762>3.841,∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)这5名数学系学生中,2名喜欢甜品的学生记为A、B,其余3名不喜欢甜品的学生记为c、d、e.则从这5名学生中随机抽取3人的结果所组成的基本事件为ABc,ABd,ABe,Acd,Ace,Ade,Bcd,Bce,Bde,cde,共10种.3人中至多有一人喜欢甜品的基本事件是Acd,Ace,Ade,Bcd,Bce,Bde,cde,共7种.∴至多有一人喜欢甜品的概率P=.5.(Ⅰ)解析(1)由已知,得圆C的圆心的直角坐标为(1,),又圆C的半径为2,∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4,即x2+y2-2x-2y=0,∵x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ=0,故圆C的极坐标方程为ρ=4cos.(2)由(1)知,圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0,将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程中得,(2+tcosφ)2+(+tsinφ)2-2(2+tcosφ)-2(+tsinφ)=0,整理得,t2+2tcosφ-3=0,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2cosφ,t1·t2=-3,∴|MN|=|t1-t2|==,∵φ∈,∴cosφ∈,∴|MN|∈[,4].(Ⅱ)解析(1)当a=2时,不等式f(x)≤3为|2-3x|-|2+x|≤3,则或或解得-≤x≤,所以不等式f(x)≤3的解集为.(2)不等式f(x)≥1-a+2|2+x|等价于|a-3x|-3|2+x|≥1-a,即|3x-a|-|3x+6|≥1-a,由绝对值不等式的性质知|3x-a|-|3x+6|≤|(3x-a)-(3x+6)|=|a+6|.若存在实数a,使得不等式f(x)≥1-a+2|2+x|成立,则|a+6|≥1-a,解得a≥-,所以实数a的取值范围是.
