压轴解答题(二)时间:30分钟分值:50分1.已知点M在椭圆G:+=1(a>b>0)上,且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程;(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.2.已知函数f(x)=xlnx+ax,a∈R,函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)求证:ex>f’(x).3.已知F1,F2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆E上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求椭圆E的方程;(2)过F1的直线l1,l2分别交椭圆E于A,C和B,D,且l1⊥l2,问是否存在常数λ,使得,λ,成等差数列?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.4.已知函数f(x)=+alnx.(1)当a>0时,若曲线f(x)在点(2a,f(2a))处的切线过原点,求a的值;(2)若函数f(x)在其定义域上不是单调函数,求a的取值范围;(3)求证:当a=1时,ln(n+1)>++…+(n∈N*).答案精解精析1.解析(1)∵2a=4,∴a=2.又点M在椭圆上,∴+=1,解得b2=4,∴椭圆G的方程为+=1.(2)设直线l的方程为y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-12=0.①设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1e-2时,f'(x)>0,当00,∵g'(x)=ex-在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=e-1>0,g'=-2<0,∴g'(x)在上存在唯一的零点t,使得g'(t)=et-=0,即et=.当0t时,g'(x)>g'(t)=0,∴g(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增,∴x>0时,g(x)≥g(t)=et-lnt-2=-ln-2=t+-2≥2-2=0,又0,即ex>f'(x).3.解析(1)∵|PF1|+|PF2|=4,∴2a=4,a=2,∴椭圆E:+=1.将P代入可得b2=3,∴椭圆E的方程为+=1.(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时,+=+=;②当AC的斜率k存在且k≠0时,AC的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程+=1,并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=.|AC|=|x1-x2|==.∵直线BD的斜率为-,∴|BD|==.∴+=+=.综上,2λ=+=,∴λ=.故存在常数λ=,使得,λ,成等差数列.4.解析(1)解法一:因为f'(x)=-+(x>0),所以f'(2a)=.又f(2a)=+aln2a=a,故切线方程为y-a=(x-2a).又切线过原点,所以-a=×(-2a),即ln2a=0,解得a=.解法二:因为f'(x)=-+(x>0),所以f'(2a)=.又切线过原点,所以切线方程为y=x.当x=2a时,y=.把点代入函数f(x)=+alnx,得=+aln2a,解得a=.(2)因为f'(x)=-+=(x>0),当a=0时,f'(x)=0,此时f(x)=0,显然f(x)在(0,+∞)上不是单调函数;当a<0时,因为x>0,所以x-a>0,故f'(x)<0,所以f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数.当a>0时,由f'(x)>0得x-a>0,即x>a.故f(x)在(0,a)上是单调递减函数,在(a,+∞)上是单调递增函数,即f(x)在(0,+∞)上不是单调函数,综上可知a的取值范围是[0,+∞).(3)证明:当a=1时,f(x)=+lnx,由(2)知f(x)在(1,+∞)上是增函数,所以当x>1时,f(x)=+lnx>f(1)=1⇒lnx>1-.设x=,n∈N*,则ln>1-=.所以ln2+ln+ln+…+ln>++…+,又ln2+ln+ln+…+ln=ln=ln(n+1),所以ln(n+1)>++…+.
