中档解答题(二)时间:35分钟分值:70分1.如图,已知点O为△ABC的外心,∠BAC,∠ABC,∠ACB的对边分别为a,b,c,且2+3+4=0.(1)求cos∠BOC的值;(2)若△ABC的面积为,求b2+c2-a2的值.2.如图①,已知直角梯形ABCD中,AB=AD=CD=2,AB∥DC,AB⊥AD,E为CD的中点,沿AE把△DAE折起到△PAE的位置(折起后D变为P),使得PB=2,如图②.(1)求证:平面PAE⊥平面ABCE;(2)求直线PB和平面PCE所成角的正弦值.图①图②3.某学校的一个社会实践调查小组在对高中生的“良好作息习惯”的调查中,随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计,得到如下2×2列联表:做不到良好作息习惯能做到良好作息习惯合计男451055女301545合计7525100(1)现用分层抽样的方法按是否能做到良好作息习惯,从女生的45份问卷中随机抽取了9份,再从这9份问卷中随机抽取4份进行进一步调查,记能做到良好作息习惯的问卷的份数为ξ,试求随机变量ξ的分布列和数学期望;(2)如果认为“良好作息习惯与性别有关”犯错误的概率不超过p,请根据临界值表确定最精确的p的值,并说明理由.附:K2=,其中n=a+b+c+d.独立性检验临界值表:P(K2≥k0)0.250.150.100.050.025k01.3232.0722.7063.8415.0244.(2017湖北黄冈3月调研)数列{an}中,a1=2,an+1=an(n∈N*).(1)证明:数列是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,若数列{bn}的前n项和是Tn,求证:Tn<2.5.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρ=.(1)写出直线l的普通方程和曲线C1的直角坐标方程;(2)若将曲线C1上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标缩短为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上任意一点,求点P到直线l距离的最小值.6.(2017河北石家庄二模)设函数f(x)=|x-1|-|2x+1|的最大值为m.(1)作出函数f(x)的图象;(2)若a2+2c2+3b2=m,求ab+2bc的最大值.答案精解精析1.解析(1)设△ABC外接圆的半径为R,由2+3+4=0得3+4=-2,两边平方得9R2+16R2+24R2cos∠BOC=4R2,所以cos∠BOC==-.(2)由题意可知∠BOC=2∠BAC,∠BAC∈,cos∠BOC=cos2∠BAC=2cos2∠BAC-1=-,从而cos∠BAC=,所以sin∠BAC==,△ABC的面积S=bcsin∠BAC=bc=,故bc=8,从而b2+c2-a2=2bccos∠BAC=2×8×=4.2.解析(1)证明:如图,取AE的中点O,连接PO,OB,BE.在平面图形中,易知四边形ABED为正方形,所以在立体图形中,△PAE,△BAE为等腰直角三角形,所以PO⊥AE,OB⊥AE,PO=OB=,因为PB=2,所以PO2+OB2=PB2,所以PO⊥OB,又AE∩OB=O,所以PO⊥平面ABCE,因为PO⊂平面PAE,所以平面PAE⊥平面ABCE.(2)解法一:由(1)知,OB,OE,OP两两垂直,以O为坐标原点,以OB,OE,OP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图,则O(0,0,0),P(0,0,),B(,0,0),E(0,,0),C(,2,0),所以=(,0,-),=(0,-,),=(,,0).设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),则即令x=1,得y=-1,z=-1,故平面PCE的一个法向量为n=(1,-1,-1).所以cos<,n>===,所以直线PB和平面PCE所成角的正弦值为.解法二:由(1)可知,PO⊥AE,OB⊥AE,PO∩OB=O,故AE⊥平面POB.因为PB⊂平面POB,所以AE⊥PB,又BC∥AE,所以BC⊥PB.在Rt△PBC中,PC===2.在△PEC中,PE=CE=2,所以S△PEC=×2×=.设点B到平面PCE的距离为d,由V三棱锥P-BCE=V三棱锥B-PEC,得d===.设直线PB和平面PCE所成角为θ,则sinθ===.3.解析(1)由题意可知,9份问卷中,做不到良好作息习惯的份数为30×=6,能做到良好作息习惯的份数为15×=3,∴ξ的所有可能值为0,1,2,3,且P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,∴ξ的分布列为ξ0123Pξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.(2)∵K2=≈3.03∈(2.706,3.841),∴p的最精确的值为0.10.4.解析(1)由题设得=·,又=2,所以数列是首项为2,公比为的等比数列,所以=2×=22-n,an=n·22-n=.(2)证明:bn===,因为对任意n∈N*,2n-1≥2n-1,所以bn≤.所以Tn≤1++++…+=2<2.5.解析(1)直线l的普通方程为x-y+2=0,曲线C1的参数方程为(θ为参数).(2)由题意知,曲线C2的参数方程为(θ为参数).可设点P(cosθ,sinθ),则点P到直线l的距离为d==,所以dmin=,即点P到直线l距离的最小值为.6.解析(1)因为f(x)=|x-1|-|2x+1|,所以f(x)=画出图象如图.(2)由(1)可知m=.因为=m=a2+2c2+3b2=(a2+b2)+2(c2+b2)≥2ab+4bc,所以ab+2bc≤,当且仅当a=b=c=时,等号成立.所以ab+2bc的最大值为.
