开卷速查(五十四)抛物线A级基础巩固练1．[2014·辽宁]已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－解析：因为点A在抛物线的准线上，所以－＝－2，所以该抛物线的焦点F(2,0)，所以kAF＝＝－，选C。答案：C2．[2014·课标Ⅰ]已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：由题意知抛物线的准线为x＝－。因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A。答案：A3．[2016·云南师大附中模拟]已知P为抛物线y2＝－6x上一个动点，Q为圆x2＋(y－6)2＝上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是()A.B.C.D.解析：结合抛物线定义，P到y轴的距离为P到焦点的距离减去，则所求最小值为抛物线的焦点到圆心的距离减去半径及，即为－－＝，故选B。答案：B4．[2016·孝感模拟]直线l经过抛物线y2＝4x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为3，则线段AB的长为()A．5B．6C．7D．8解析：设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l0，A(xA，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝xA＋1＋xB＋1＝xA＋xB＋2＝2xC＋2＝8。答案：D5．[2016·郑州模拟]已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，P，Q是抛物线上的两个点，若△PQF是边长为2的正三角形，则p的值是()A．2±B．2＋C.±1D.－1解析：F，设P，Q(y1≠y2)。由抛物线定义及|PF|＝|QF|，得＋＝＋，所以y＝y，又y1≠y2，所以y1＝－y2，所以|PQ|＝2|y1|＝2，|y1|＝1，所以|PF|＝＋＝2，解得p＝2±。答案：A6．[2016·济南模拟]已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为()A.B.C.D.解析：设抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点P(－2,0)，如图过A，B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|＝|FA|，所以|OB|＝|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，把B点坐标代入直线方程得k的值为。答案：C7．已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点__________。解析：因为动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)。答案：(1,0)8．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交y轴于点A，抛物线上有一点B满足OB＝OA＋OF(O为坐标原点)，则△BOF的面积是__________。解析：由题可知F(1,0)，可设过焦点F的直线方程为y＝k(x－1)(可知k存在)，则A(0，－k)，∴B(1，－k)，由点B在抛物线上，得k2＝4，k＝±2，即B(1，±2)，S△BOF＝·|OF|·|yB|＝×1×2＝1。答案：19．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点。若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________。解析：设直线y＝a与y轴交于M点，若抛物线y＝x2上存在C点使得∠ACB＝90°，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有除A，B外的交点即可，即使|AM|≤|MO|，所以≤a，所以a≥1或a≤0，因为由题意知a＞0，所以a≥1。答案：[1，＋∞)10．[2016·唐山统考]已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过点C(－2,0)的直线l交抛物线于A、B两点，坐标原点为O，OA·OB＝12。(1)求抛物线的方程；(2)当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程。解析：(1)设l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝0。(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，则x1x2＝＝4。因为OA·OB＝12，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x。(2)(1)中(*)式可化为y2－4my＋8＝0，y1＋y2＝4m，y1y2＝8。设AB的中点为M，则|AB|＝2xM＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又|AB|＝|y1－y2|＝，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，m＝±，所以，直线l的方程为x＋y＋2＝0或x－y＋2＝0。B级能力提升练11．[2015·西安模拟]已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过焦点F且不平行于x轴的动直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在A，B...
