开卷速查(三十二)数列的综合问题A级基础巩固练1．[2016·杭州模拟]已知函数f(x)＝x2＋2bx过(1,2)点，若数列的前n项和为Sn，则S2016的值为()A.B.C.D.解析：由已知得b＝，∴f(n)＝n2＋n，∴＝＝＝－，∴S2016＝1－＋－＋…＋－＝1－＝。答案：D2．数列{an}满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn＞1025的最小n值是()A．9B．10C．11D．12解析：因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn＞1025的最小n值是11。答案：C3．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()A．n(2n＋3)B．n(n＋4)C．2n(2n＋3)D．2n(n＋4)解析：由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n。答案：A4．已知数列{an}的通项公式为an＝，则满足an＋1＜an的n的取值为()A．3B．4C．5D．6解析：由an＋1＜an，得an＋1－an＝－＝＜0，解得＜n＜，又n∈N*，所以n＝5。答案：C5．已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an等于()A．2n－1B．nC．2n－1D.n－1解析：由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，所以Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，所以a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝n－1。答案：D6．已知函数f(x)＝数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且数列{an}是单调递增数列，则实数a的取值范围是()A．(1,4)B．(4,8)C．(0,1)D．(1，＋∞)解析：由题可知，数列{an}单调递增，则有解得所以，4＜a＜8。答案：B7．[2016·成都模拟]数列{an}是等差数列，a1＝f(x＋1)，a2＝0，a3＝f(x－1)，其中f(x)＝x2－4x＋2，则此数列的前n项和Sn＝________。解析：由题意可得f(x＋1)＋f(x－1)＝0，即(x＋1)2－4(x＋1)＋2＋(x－1)2－4(x－1)＋2＝0，解得：x＝1或x＝3，当x＝1时，此时a1＝－2，a2＝0，a3＝2，则d＝2，所以Sn＝n2－3n。当x＝3时，a1＝2，a2＝0，a3＝－2，则d＝－2，所以Sn＝－n2＋3n。答案：n2－3n或－n2＋3n8．[2016·厦门模拟]设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是________。解析：由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n，所以Sn＝＋2＋3＋…＋n＝＝1－n，因为n∈N*，所以≤Sn＜1。答案：9．[2016·扬州模拟]如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，…，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为________。解析：设1＋2＋4＋…＋2n－1＝1023，即＝1023,2n＝1024，n＝10。正方形边长构成数列，2，3，…，其中第10项为10＝，即所求最小正方形的边长为。答案：10．[2015·安徽]设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标。(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥。解析：(1)y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1)。令y＝0，解得切线与x轴交点的横坐标xn＝1－＝。(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知Tn＝xx…x＝22…2。当n＝1时，T1＝。当n≥2时，因为x＝2＝＞＝＝，所以Tn＞2×××…×＝。综上可得对任意的n∈N*，均有Tn≥。B级能力提升练11．[2015·广东]数列{an}满足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－，n∈N*。(1)求a3的值；(2)求数列{an}的前n项和Tn；(3)令b1＝a1，bn＝＋an(n≥2)，证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn＜2＋2lnn。解析：(1)当n＝1时，a1＝4－＝1；当n≥2时，由a1＋2a2＋…＋nan＝4－知，a1＋2a2＋…＋(n－1)an－1＝4－，两式相减得nan＝－＝－＝，此时an＝。经...
