开卷速查(三十一)数列求和A级基础巩固练1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S6等于()A.B.C.D.解析：因为an＝＝－，所以S6＝1－＋－＋…＋－＝1－＝。答案：D2．[2016·青岛模拟]已知Sn＝＋＋＋…＋，若Sm＝10，则m＝()A．11B．99C．120D．121解析：因为＝＝－，所以Sm＝－＋－＋…＋－＝－1。由已知得－1＝10，所以m＝120，故选C。答案：C3．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1－an＝sin，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2016＝()A．1006B．1007C．1008D．1009解析：由题意，得an＋1＝an＋sin，所以a2＝a1＋sinπ＝1，a3＝a2＋sin＝0，a4＝a3＋sin2π＝0，a5＝a4＋sin＝1，…，因此，数列{an}是一个以4为周期的周期数列，而2016＝4×504，所以S2016＝504×(a1＋a2＋a3＋a4)＝1008，故选C。答案：C4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为()A.B.C.D.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d。 a5＝5，S5＝15，∴∴∴an＝a1＋(n－1)d＝n。∴＝＝－，∴数列{}的前100项和为1－＋－＋…＋－＝1－＝。答案：A5．数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2016等于()A．2016B．1008C．504D．0解析：因为an＝ncos，所以当n为奇数时，an＝0，当n为偶数时，an＝其中m∈N*，所以S2016＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋…＋a2016＝a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2016＝－2＋4－6＋8－10＋12－14＋…＋2016＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋(－10＋12)＋…＋(－2014＋2016)＝2×504＝1008，故选B。答案：B6．[2016·合肥模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，Sn是数列{an}的前n项和，则S2016＝()A．22016－1B．3×21008－3C．3×21008－1D．3×22016－2解析：依题意得an·an＋1＝2n，an＋1·an＋2＝2n＋1，于是有＝2，即＝2，数列a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列；数列a2，a4，a6，…，a2n，…是以a2＝2为首项，2为公比的等比数列，于是有S2016＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2015)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2016)＝＋＝3×21008－3，故选B。答案：B7．在数列{an}中，an＝＋＋…＋，又bn＝，则数列{bn}的前n项和为__________。解析： an＝＝，∴bn＝＝8。∴b1＋b2＋…＋bn＝8＝。答案：8．[2016·郑州模拟]设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________。解析：由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以当n＜5时，an＜0，当n≥5时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130。答案：1309．若数列{an}是正项数列，且＋＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则＋＋…＋＝__________。解析：令n＝1，得＝4，∴a1＝16。当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋3(n－1)。与已知式相减，得＝(n2＋3n)－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2。∴an＝4(n＋1)2。∴n＝1时，a1适合an。∴an＝4(n＋1)2。∴＝4n＋4。∴＋＋…＋＝＝2n2＋6n。答案：2n2＋6n10．[2015·课标Ⅰ]Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3。(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和。解析：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3。可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)。由于an＞0，可得an＋1－an＝2。又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3。所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1。(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝。设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝。B级能力提升练11．在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1，设Sn是数列{an}的前n项和，则S60＝__________。解析： an＋2＋(－1)nan＝1，∴a3－a1＝1，a5－a3＝1，a7－a5＝1，…，且a4＋a2＝1，a6＋a4＝1，a8＋a6＝1，…，∴{a2n－1}为等差数列，且a2n－1＝1＋(n－1)×1＝n，即a1＝1，a3＝2，a5＝3，a7＝4，∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝1＋1＋2＝4，S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝3＋4＋1＝8，S12－S8＝a9＋a10＋a11＋a12＝5＋6＋1＝12，…，∴{S4n－S4(n－1)}构成以4为首项，4为公差的等差数列，∴S60＝4×15＋×4＝480。...
