开卷速查(二十八)数列的概念与简单表示法A级基础巩固练1．数列0，，，，…的一个通项公式为()A．an＝(n∈N*)B．an＝(n∈N*)C．an＝(n∈N*)D．an＝(n∈N*)解析：将0写成，观察数列中每一项的分子、分母可知，分子为偶数列，可表示为2(n－1)，n∈N*；分母为奇数列，可表示为2n－1，n∈N*，故选C。答案：C2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－1，则a3＝()A．－10B．6C．10D．14解析：a3＝S3－S2＝2×32－1－(2×22－1)＝10。答案：C3．数列{an}满足：a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝()A.B.C．5D．6解析：因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝。所以a5＝····a1＝××××1＝，故选A。答案：A4．[2016·重庆模拟]已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．an＝2n－1B．an＝n－1C．an＝n2D．an＝n解析：方法一：由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，∴＝。∴数列是常数列，且＝＝1。∴an＝n。方法二(累乘法)：n≥2时，＝，＝，⋮＝，＝，以上各式两边分别相乘，得＝n。又 a1＝1，∴an＝n，故选D。答案：D5．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3，n∈N*)，则a17＝()A．1B．2C.D．2－987解析：由已知，得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝。答案：C6．[2015·北京模拟]已知an＝n，把数列{an}的各项排列成如图的三角形形状。a1a2a3a4a5a6a7a8a9…………………………记A(m，n)表示第m行的第n个数，则A(10,12)＝()A.93B.92C.94D.112解析：由题意知，前9行共有1＋3＋5＋…＋17＝＝81个数，因此，第10行的第1个数是a82，第12个数是a93。又因为an＝n，所以A(10,12)＝a93＝93。答案：A7．数列{an}的通项公式an＝－n2＋10n＋11，则该数列前__________项的和最大。解析：易知a1＝20＞0，显然要想使和最大，则应把所有的非负项求和即可，令an≥0，则－n2＋10n＋11≥0，∴－1≤n≤11，可见，当n＝11时，a11＝0，故a10是最后一个正项，a11＝0，故前10项或11项和最大。答案：10或118．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝__________。解析：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3，把n换成n－1得，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)·an－1＝(n－2)·3n＋3，两式相减得an＝3n。答案：3n9．[2014·课标Ⅱ]数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝__________。解析：将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝。答案：10．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)。(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6恒成立，求a的取值范围。解析：(1) an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又 a＝－7，∴an＝1＋。结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)。∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0。(2)an＝1＋＝1＋。 对任意的n∈N*，都有an≤a6恒成立，结合函数f(x)＝1＋的单调性，知5＜＜6，∴－10＜a＜－8。故a的取值范围为(－10，－8)。B级能力提升练11．[2015·郑州模拟]已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＞0，即2n＋1＞2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3＞2λ，λ＜。由λ＜1可得λ＜，但反过来，由λ＜不能得到λ＜1，因此“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件。答案：A12．[2015·哈尔滨模拟]数列{an}定义如下：a1＝1，当n≥2时，an＝若an＝，则n的值等于()A．7B．8C．9D．10解析：因为a1＝1，当n≥2时an＝所以a2＝1＋a1＝2，a3＝＝，a4＝1＋a2＝3，a5＝＝，a6＝1＋a3＝，a7＝＝，a8＝1＋a4＝4，a9＝＝，又已知an＝，所以n＝9。答案：C13．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2...
