辽宁省大连渤海高级中学2018届高三数学1月模拟试题本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合，，则A．B．C．D．2．在复平面内，复数(其中是虚数单位）对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知，，，，则A．B．C．D．5．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．20C．24D．486．已知实数满足约束条件若的最大值为4，则A．2B．C．3D．47．已知数列都是公差为1的等差数列，其首项分别为且，设则数列的前10项和等于A．55B．70C．85D．1008．若圆与圆相交于两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是A．3B．4C．D．89．若函数的图象与函数的图象关于直线对称，则=A．B．C．D．10．已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为A．B．C．D．11．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚4s．已知各观测点到该中心的距离都是1020m．则该巨响发生在接报中心的()处．（假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上）A．西偏北45°方向，距离B．东偏南45°方向，距离C．西偏北45°方向，距离D．东偏南45°方向，距离12．对，设是关于的方程的实数根，（符号表示不超过的最大整数）．则A．1010B．1012C．2018D．2020二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则．14．设，则．15．已知平面向量的夹角为120°，且．若平面向量满足，则．16．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则此长方体体积的最大值为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）如图，已知是中的角平分线，交边于点.（1）用正弦定理证明：；（2）若，求的长．18．（12分）如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且,，为中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值．19．（12分）我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表：（1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．利用样本估计总体，试估计政府执行此计划的年度预算．（单位：亿元，结果保留两位小数）20．（12分）如图，一张坐标纸上已作出圆：及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点,且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围．21．（12分）已知为正的常数，函数.（1）若，求函...
