第57练高考大题突破练——立体几何1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；(3)在(2)的情形下，设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E,求平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值．2.如图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，AD⊥DC，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝DC＝AB＝1，M为PC的中点，N点在AB上且AN＝NB.(1)证明：MN∥平面PAD；(2)求直线MN与平面PCB所成的角．3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)证明：平面AEB⊥平面BB1C1C；(2)证明：C1F∥平面ABE；(3)设P是BE的中点，求三棱锥P－B1C1F的体积．4．(2016·浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值．答案精析1．解(1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.其中底面ABCD是边长为6的正方形，高PD＝6，故所求体积是V＝×62×6＝72.(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥D1－ABCD，D1－BB1C1C，D1－BB1A1A组成．其拼法如图2所示.(3)因为△AB1E的边长AB1＝6，B1E＝3，AE＝9，所以S△AB1E＝27，而S△ABC＝18，所以平面AB1E与平面ABC所成二面角的余弦值为＝.2．证明方法一(1)过点M作ME∥CD交PD于E点，连接AE， AN＝NB，∴AN＝AB＝DC＝EM，又EM∥DC∥AB，∴EM∥AN，∴四边形AEMN为平行四边形，∴MN∥AE，又 AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)过N点作NQ∥AP交BP于点Q，NF⊥CB于点F，连接QF，过N点作NH⊥QF于点H，连接MH，易知QN⊥平面ABCD，∴QN⊥BC，又NF⊥BC，NF∩QN＝N，NF⊂平面QNF，QN⊂平面QNF，∴BC⊥平面QNF，∴BC⊥NH， NH⊥QF，BC∩QF＝F，BC⊂平面PBC，QF⊂平面PBC，∴NH⊥平面PBC，∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成角，通过计算可得MN＝AE＝，QN＝，NF＝，∴NH＝＝＝，∴sin∠NMH＝＝，∴∠NMH＝60°，∴直线MN与平面PCB所成角为60°.方法二(1)以A为原点，以AD，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，过点作ME∥CD，ME交PD于点E，连接AE，由已知可得A(0,0,0)，B(0,2,0)，D(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,0,1)，M(，，)，E(，0，)，N(0，，0)． NM＝(，0，)，AE＝(，0，)，∴MN∥AE， MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.(2)不妨设a＝(1，y，z)，且a⊥平面PCB，则a⊥BC，a⊥BP，而BC＝(1，－1,0)，BP＝(0，－2,1)，∴⇒∴a＝(1,1,2)．∴cos〈a，NM〉＝＝＝.即向量a与NM的夹角为30°，∴直线MN与平面PCB所成的角为60°.3．(1)证明在△ABC中， AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，∴AB＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，由已知得AB⊥BB1，且BC∩BB1＝B，又 BC⊂平面BB1C1C，BB1⊂平面BB1C1C，∴AB⊥平面BB1C1C，又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C1C.(2)证明取AC的中点M，连接C1M，FM，在△ABC中，FM∥AB，而FM⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴直线FM∥平面ABE，在矩形ACC1A1中，E，M分别是A1C1，AC的中点，∴C1M∥AE，而C1M⊄平面ABE，AE⊂平面ABE，∴C1M∥平面ABE， C1M∩FM＝M，C1M⊂平面FMC1，FM⊂平面FMC1，∴平面ABE∥平面FMC1，又C1F⊂平面FMC1，故C1F∥平面ABE.(3)解取B1C1的中点H，连接EH，则EH∥AB，且EH＝AB＝，又AB⊥平面BB1C1C，∴EH⊥平面BB1C1C， P是BE的中点，∴＝×·EH＝××2×＝.4．(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCFE，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，且CK∩AC＝C，CK，AC都在平面ACFD内，所以BF⊥平面ACFD.(2)解方法一过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.因为BF⊥平面ACFD，AK在平面ACFD内，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，BQ在平面BQF内，所以BQ⊥AK.所以∠BQF是...
