高三数学 复数的运算，在复数集中解方程，复数运算的几何意义 知识精讲VIP专享VIP免费

高三数学复数的运算，在复数集中解方程，复数运算的几何意义知识精讲（一）复数的运算（1）复数的代数形式：zabiabR,；（2）复数的加法与减法：abicdiacbdi；（3）复数的乘法与除法：abicdiacbdadbci；abicdiacbdcdbcadcdi2222；（4）zzzzzzzzzmnmnmnmnnnn，，()()1212；（5）i的周期性iiiiiinZnnnn414243411，，，()；（6）的性质及应用：若n为虚数，且31，则称为1的虚立方根，1的立方根为112321232，，ii且有性质：102。3211，，（7）常用计算结果：①abiabiab22；②122ii；③11iii；④122ii。（二）在复数集中解方程（1）形如fzzz，，||0型的复数方程解法，通常设zxyixyR,，利用复数相等的充要条件，将复数问题实数化。（2）一元二次方程axbxc20，若a、b、c中至少有一个虚数，则①求根公式仍适用；②韦达定理仍适用；③判别式判别根的情况无效；④虚根成对出现性质无效。（3）解形如axbn0的二项方程abC,（三）复数运算的几何意义（1）复数加、减法的几何意义（平行四边形和三角形法则）（2）复数乘法的几何意义（逆时针和顺时针旋转）（3）复数除法的几何意义（4）复数开方的几何意义注意：有关模与辐角（主值）的变化。例1.（98全国·8）复数i和一个立方根是i，它的另外两个立方根是（）Www.chinaedu.com0015期版权所有不得复制1A.3212iB.3212iC.3212iD.3212i解析：方法一：iicossin3232i的三个立方根是cossin()32233223012xkikk，，当k0时，cossincossin32332322iii当k1时，cossincossin3223322376763212iii当k2时，cossincossin324332431161163212iii故选D方法二：由复数开方的几何意义，i与i的另外两个立方根表示的点均匀地分布在以原点为圆心，以1为半径的圆上，于是另外两个立方根的虚部必为12，排除A、B、C，选D。说明：本题主要考查了复数开方的运算，既可用代数方法求解，也可用几何方法求解，但由题干中的提示，几何法解题较简捷。例2.（95全国理·21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为zzzO123、、、（其中O为原点）已知z2对应复数zi213，求z1和z3的对应复数。yz3xz2z1解法一：如图，设zz13、对应的复数分别为zz13、，则由复数乘除法的几何意义有：zzi121244cossin12132222ii312312izzi321244cossinWww.chinaedu.com0015期版权所有不得复制212132222132132iii（或zizi31132132）解法二：设zz13、对应的复数分别是zz13、，根据复数加法和乘法的几何意义，依题意得：zzzzziz132312zziii121211213132312zzziii32113132312132132说明：本题主要考查复数的基本概念和几何意义，以及运算能力，此题以复平面上的简单几何图形为背景，借以考查复数的向量表示与复数运算的几何意义等基本知识，侧重概念性质的理解与掌握，以及运算能力和转化的思想，对复数教学有良好的导向作用。例3.（99上海·理）已知方程xixaiaR2440()有实数根b，且zabi，求复数zcic10的辐角主值的取值范围。解： 方程xixaiaR2440()有实根bbibai2440()得：bbbai2440()即有bbba24400ab22，得：zabii22zciicicci12212222当01c时，复数zci1的实部大于0，虚部不小于0∴复数zci1的辐角主值在[)02，范围内，有argargzciarctgccc122222110102...