高三数学 名校尖子生培优系列 数学解题方法三 待定系数法在三角函数问题中的应用试题 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

三、待定系数法在三角函数问题中的应用典型例题：例1.（）已知函数()sin()(,0,02fxAxxR的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）求函数()()()1212gxfxfx的单调递增区间.【答案】解：（Ⅰ）由题设图像知，周期1152()1212T，∴22T。∵点5(,0)12在函数图像上，∴55sin(2)0,sin()0126A即。又∵02，∴554663。∴5=6，即=6。又∵点0,1（）在函数图像上，∴sin1,26AA。∴函数()fx的解析式为()2sin(2)6fxx。（Ⅱ）()2sin22sin2126126gxxx2sin22sin(2)3xx132sin22(sin2cos2)22xxxsin23cos2xx2sin(2)3x。由222,232kxk得5,1212kxkkz∴()gx的单调递增区间是5,,1212kkkz。1【考点】三角函数的图像和性质。【解析】（Ⅰ）结合图形求得周期1152(),1212T从而求得22T.再利用特殊点在图像上求出,A，从而求出()fx的解析式。（Ⅱ）用（Ⅰ）的结论和三角恒等变换及sin()yAx的单调性求得。例2.（设函数()sin()fxAx（其中0,0,A）在6x处取得最大值2，其图象与轴的相邻两个交点的距离为2。（I）求()fx的解析式（5分）；（II）求函数426cossin1()()6xxgxfx的值域（7分）。【答案】解：（Ⅰ）∵函数()fx图象与轴的相邻两个交点的距离为2，∴()fx的周期为T，即2，解得2。∵()fx在6x处取得最大值2，∴A=2。∴2sin(2)26，即sin()13。∴+232kkZ，。又∵，∴6。∴()fx的解析式为()2sin(2)6fxx。（Ⅱ）∵函数4242426cossin16cossin16cos+cos2()==2cos2()2sin(2)62xxxxxxgxxfxx2222222cos13cos+231==cos+1cos2222cos1xxxxx，又∵2cos[0,1]x，且21cos2x，∴()gx的值域为775[1,)(,]442。【考点】三角函数中的恒等变换应用，由()sin()fxAx的部分图象确定其解析式。【分析】（Ⅰ）通过函数的周期求出ω，求出A，利用函数经过的特殊点求出，推出()fx的解析式。（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函数426cossin1()()6xxgxfx的表达式，应用同角函数关系式、倍角函数关系式得到2231()=cos+1cos22gxxx。通过2cos[0,1]x，且21cos2x，求出()gx的值域。例3.函数()sin()16fxAx（0,0A）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为2，（I）求函数()fx的解析式；（Ⅱ）设(0,)2，则()22f，求的值.【答案】解：（I）∵函数()fx的最大值为3，∴13,A即2A。∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2，∴最小正周期为T。∴2。∴函数()fx的解析式为sin(2)16yx。（Ⅱ）∵()2sin()1226f，∴即1sin()62。∵02，∴663。3∴66，即3。【考点】三角函数的图像性质，三角函数的求值。【解析】（1）通过函数的最大值求出A，通过对称轴求出周期，求出ω，得到函数的解析式。（Ⅱ）通过()2sin()1226f，求出1sin()62，通过α的范围，求出α的值。4