高中数学竞赛专题讲座之二：数列一、选择题部分1．（2006年江苏）已知数列的通项公式，则的最大项是（B）A．B．C．D．2．（2006安徽初赛）正数列满足，则（）A．98B．99C．100D．1013．（2006吉林预赛）对于一个有n项的数列P=(p1，p2，…，pn)，P的“蔡查罗和”定义为s1、s2、…sn、的算术平均值，其中sk=p1+p2+…pk(1≤k≤n)，若数列(p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p1，p2，…，p2006)的“蔡查罗和”为（A）A．2007B．2008C．2006D．10044．(集训试题)已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<的最小整数n是（）A．5B．6C．7D．8解：由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-的等比数列，∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)==6-6×(-)n，∴|Sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。5．(集训试题)给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（）A．1B．-1C．2+D．-2+解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+),∴xn+6=xn,x1=1，x2=2+,x3=-2-,x4=-1,x5=-2+,x6=2-,x7=1，……，∴有。故选A。151010511464113311211116．（2006陕西赛区预赛）已知数列的前n项和分别为，记则数列{}的前10项和为（C）A．B．C．D．7．（2006年浙江省预赛）设为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如。记，，则＝（D）A．20B．4C．42D．145解：将记做，于是有从16开始，是周期为8的周期数列.故正确答案为D。二、填空题部分1．数列的各项为正数,其前n项和满足,则=______.2．（2006天津）已知都是偶数，且，，若成等差数列，成等比数列，则的值等于194．3．（2006吉林预赛）如图所示，在杨辉三角中斜线上方的数所组成的数列1，3，6，10，…，记这个数列前n项和为S(n)，则=________.4．（2006年江苏）等比数列的首项为，公比．设表示这个数列的前项的积，则当12时，有最大值．5．在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线上从左向右依次取点列，使（）都是等11边三角形，其中是坐标原点，则第2005个等边三角形的边长是2005.【解】：设第n个等边三角形的边长为。则第n个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为（，）。再从第n个等边三角形上，我们可得的纵坐标为。从而有，即有。由此可得（1）以及（2）（1）－（2）即得.变形可得.由于，所以。在（1）式中取n＝1，可得，而，故。因此第2005个等边三角形的边长为。6．(2005年浙江)已知数列，满足,且，则=.【解】：由，推出。因此有.即有。从而可得。7．(2005全国)记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）A．B．C．D．解：用表示k位p进制数，将集合M中的每个数乘以，得中的最大数为。在十进制数中，从2400起从大到小顺序排列的第2005个数是2400-2004=396。而将此数除以，便得M中的数故选C.8．（2004全国）已知数列满足关系式，则的值是_________________________。解：设即故数列是公比为2的等比数列，。。9．（2005四川）设为整数，集合中的数由小到大组成数列：，则131。解： 为整数且，∴最小取2，此时符合条件的数有，可在中取，符合条件有的数有同理，时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有时，符合条件有的数有因此，是中的最小值，即三、解答题部分1．（2006天津）已知数列满足，，，其中是给定的实数，是正整数，试求的值，使得的值最小．【解】令，由题设，有，且………5分于是，即．∴．（※）…………………10分又，，则．∴当的值最小时，应有，，且．即，．……………………15分由（※）式，得由于，且，解得，∴当时，的值最小．……………………………………………20分2．（2006陕西赛区预赛）(20分)已知,设,记11.（1）求的表达式;（2）定义正数数列。试求数列的通项公式。.3．（2006安徽初赛）已知数列满足，对于所有，有，求的通项公式．4．（2006吉林预赛）设{an}为一个实数数列，a1=t，an+1=4an(1－an)。求有多少个不同的实数t使得a2006=0.（22004+1）5．（2006年南昌市）将等差数列{}:中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成...
