第十二章第一节相似三角形的判定及有关性质1．已知：如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，连结AE交CD于F，FG∥AD交DE于G.求证：FC＝FG.证明：在正方形ABCD中，AB∥CD，∴＝.∵FG∥AD，∴＝.∴＝.∵AB＝AD，∴CF＝FG.2．如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD.(2)若AB＝4，∠1＝30°，AD＝3，求BF的长．解：(1)证明：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠EDA∴∠BFA＝∠ADE，∴△ABF∽△EAD.(2)在Rt△ABE中，∠1＝30°，由正弦定理得：＝，∴AE＝＝，又＝，∴BF＝·AD＝.3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交AC于G，交BC于F.求证：(1)DG2＝GE·GF；(2)＝.证明：(1)∵CD∥AE，∴＝.又∵AD∥CF，∴＝.∴＝，即DG2＝GE·GF.(2)∵BF∥AD，∴＝.①又∵CD∥BE，∴＝.②由①②可得＝.4．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：＝.证明：过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，如图所示．∵AD∥CE，∴＝.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△BCE中，由AD∥CE知，∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，1∴∠ACE＝∠E，∴AE＝AC.∴＝＝.故＝.5．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，＝.求：(1)；(2).解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.＝()2＝，∴＝，则＝.(2)如图，作DF⊥AC，垂足为F.则S△ADE＝DF·AE，S△CDE＝DF·EC.∴＝＝＝.6．如图，在等腰梯形中，AB∥CD，AD＝12cm，AC交梯形中位线EG于点F，若EF＝4cm，FG＝10cm.求此梯形的面积．解：如图所示，作高DM、CN，则四边形DMNC为矩形．∵EG是梯形ABCD的中位线，∴EG∥DC∥AB.∴F是AC的中点．∴DC＝2EF＝8，AB＝2FG＝20，MN＝DC＝8.在Rt△ADM和Rt△BCN中，AD＝BC，∠DAM＝∠CBN，∠AMD＝∠BNC＝90°，∴△ADM≌△BCN.∴AM＝BN＝(20－8)＝6，∴DM＝＝＝6，∴S梯形＝EG·DM＝14×6＝84(cm2)．7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE·AB＝AF·AC.证明：∵AD⊥BC，∴△ADB为直角三角形，又∵DE⊥AB，由射影定理知，AD2＝AE·AB.同理可得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.8．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，交AD于F，交AC于E，求证：＝.证明：∵BE是∠ABC的平分线，2∴＝，①＝，②在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，即＝③由①③得：＝，④由②④得：＝.3
