第八章第四节直线与圆锥曲线的位置关系题组一直线和圆锥曲线的位置关系问题1.抛物线y2＝4x的焦点是F，准线是l，点M(4,4)是抛物线上一点，则经过点F、M且与l相切的圆共有()A．0个B．1个C．2个D．4个解析：由于圆经过焦点F且与准线l相切，由抛物线的定义知圆心在抛物线上，又因为圆经过抛物线上的点M，所以圆心在线段FM的垂直平分线上，即圆心是线段FM的垂直平分线与抛物线的交点，结合图形易知有两个交点，因此一共有2个满足条件的圆．答案：C2．(2010·广州摸拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C，若AB�＝BC�，则双曲线的离心率是()A.B.C.D.解析：过点A(a,0)的直线的方程为y＝－x＋a，则易求得该直线与双曲线的渐近线y＝±x的交点B、C的坐标为B(，)、C(，－)，由AB�＝BC�得b＝2a，所以双曲线的离心率e＝＝＝.答案：C题组二直线与圆锥曲线相交中的弦长问题3.(2009·全国卷Ⅱ)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与拋物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.解析：过A、B作拋物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由拋物线定义可知，|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|， 2|BF|＝|AF|，∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．从而yA＝2yB，联立方程组⇒消去x得：y2－y＋16＝0，∴⇒⇒消去yB得k＝.答案：D4．已知抛物线y＝－x2＋3上存在关于直线x＋y＝0对称的1相异两点A、B，则|AB|等于()A．3B．4C．3D．4解析：设直线AB的方程为y＝x＋b，由⇒x2＋x＋b－3＝0⇒x1＋x2＝－1，得AB的中点M(－，－＋b)，又M(－，－＋b)在直线x＋y＝0上可求出b＝1，∴x2＋x－2＝0，则|AB|＝＝3.答案：C5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A、B两点．设|FA|>|FB|，则|FA|与|FB|的比值等于________．解析：F(1,0)，∴直线AB的方程为y＝x－1.⇒x2－6x＋1＝0⇒x＝3±2. |FA|>|FB|，由抛物线定义知A点的横坐标为3＋2，B点的横坐标为3－2.＝＝＝＝＝3＋2.答案：3＋2题组三最值与取值范围问题6.已知对∀k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(0,5)C．[1,5)∪(5，＋∞)D．[1,5)解析：直线恒过定点(0,1)，若直线与椭圆恒有公共点，只需点(0,1)在椭圆上或内部，∴≤1，又m>0且m≠5，∴m≥1且m≠5.答案：C7．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线离心率e的最大值为________．解析：设∠F1PF2＝θ，由得∴cosθ＝＝－e2. cosθ∈[－1,1)，∴1＜e≤.答案：题组四综合问题8.已知动圆过定点(2,0)，且与直线x＝－2相切．(1)求动圆的圆心轨迹C的方程；2(2)是否存在直线l，使l过点(0,2)，并与轨迹C交于P，Q两点，且满足OP�·OQ�＝0？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：(1)如图，设M为动圆圆心，F(2，0)，过点M作直线x＝－2的垂线，垂足为N，由题意知：|MF|＝|MN|，即动点M到定点F与到定直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F(2,0)为焦点，x＝－2为准线，所以动圆圆心轨迹C的方程为y2＝8x.(2)由题可设直线l的方程为x＝k(y－2)(k≠0)，由，得y2－8ky＋16k＝0，Δ＝(－8k)2－4×16k>0，解得k<0或k>1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝8k，y1y2＝16k，由OP�·OQ�＝0，得x1x2＋y1y2＝0，即k2(y1－2)(y2－2)＋y1y2＝0，整理得：(k2＋1)y1y2－2k2(y1＋y2)＋4k2＝0，代入得16k(k2＋1)－2k2·8k＋4k2＝0，即16k＋4k2＝0，解得k＝－4或k＝0(舍去)，所以直线l存在，其方程为x＋4y－8＝0.9．已知双曲线C：－＝1(0＜λ＜1)的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使OM�·ON�＝0，其中点O为坐标原点．解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由已知易求B(1,0)，当MN垂直于x轴时，MN的方程为x＝1，设M(1，y0)，N(1，－y0)(y0＞0)，由OM�·ON�＝0，得y0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)．又M(1,1)，N(1，－1)在双曲线上，∴－＝1⇒λ2＋λ－1＝0⇒λ＝， 0＜λ＜1，∴λ＝.当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y＝k(x－1)．由得：[λ－(1－λ)k2]x2＋2(1－λ)k...
