第八章第九节曲线与方程（理）题组一直接法或定义法求轨迹方程1.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线．答案：D2．(2010·驻马店二模)已知两点M(－2,0)，N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·＝0，则动点P(x，y)的轨迹方程为()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：||＝4，||＝，·＝4(x－2)，∴4＋4(x－2)＝0，∴y2＝－8x.答案：B3．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)，又显然|MO|>|FO|，∴点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．答案：A题组二代入法(相关点法)求轨迹方程4.已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线中点的轨迹方程是()A．y＝2x2B．y＝8x2C．2y＝8x2－1D．2y＝8x2＋1解析：设AP的中点M(x，y)，P(x0，y0)，则有x0＝2x，y0＝2y＋1，代入2－y0＝0，得2y＝8x2－1.答案：C5．(2010·济南模拟)从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为____________．1解析：设P(x，y)，Q(x1，y1)，则N(2x－x1,2y－y1)，∵N在直线x＋y＝2上，∴2x－x1＋2y－y1＝2①又∵PQ垂直于直线x＋y＝2，∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0.②由①②得又∵Q在双曲线x2－y2＝1上，∴－＝1.∴(x＋y－1)2－(x＋y－1)2＝1.整理，得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0即为中点P的轨迹方程．答案：2x2－2y2－2x＋2y－1＝0题组三参数法求轨迹方程6.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线解析：设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，∵＝λ1＋λ2，∴，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．答案：A7．(2010·晋城模拟)已知点P(x，y)对应的复数z满足|z|＝1，则点Q(x＋y，xy)的轨迹是()A．圆B．抛物线的一部分C．椭圆D．双曲线的一部分解析：由题意知x2＋y2＝1，∴(x＋y)2－2xy＝1.令x＋y＝m，xy＝n，则有m2－2n＝1，∴m2＝2n＋1.又∵2|xy|≤x2＋y2＝1，∴－≤n≤.∴点Q的轨迹是抛物线的一部分．答案：B题组四曲线和方程的综合问题8.已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程；(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量＝2＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解：(1)①当直线l垂直于x轴时，直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，其距离为2满足题意；②当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.设圆心到此直线的距离为d，则2＝2，得d＝1.∴1＝，k＝，故所求直线方程为3x－4y＋5＝0.综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1.(2)设点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，Q点坐标为(x，y)，则N点坐标是(0，y0)．∵＝＋，∴(x，y)＝(x0,2y0)，即x0＝x，y0＝.又∵x＋y＝4，∴x2＋＝4(y≠0)．∴Q点的轨迹方程是＋＝1(y≠0)．轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆，除去短轴端点．9．(2009·宁夏、海南高考)已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c，由已知得解得a＝4，c＝3，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x，y)，其中x∈[－4,4]．由已知＝λ2及点P在椭圆C上可得＝λ2，整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中x∈[－4,4]．①λ＝时，化简得9y2＝112.所以点M的轨迹方程为y＝±(－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．②λ≠时，方程变形为＋＝1，其中x∈[－4,4]；当0＜λ＜时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足－4≤x≤4的部分；当＜λ＜1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足－4≤x≤4的部分；当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．3
