核心素养测评二十六平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列说法正确的是()A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选B.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法错误;对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确;对于选项C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误.2.在△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选D.如图,因为=,又因为=+,所以=+.【变式备选】如图,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2【解析】选C.由题图可知a-b=e1-3e2.3.(2020·蚌埠模拟)已知向量a,b不共线,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c与d共线反向,则实数λ的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或-【解析】选B.由于c与d共线反向,则存在实数k使c=kd(k<0),于是λa+b=k[a+(2λ-1)b].整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共线,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.又因为k<0,所以λ<0,故λ=-.4.(2019·唐山模拟)在等腰梯形ABCD中,=-2,M为BC的中点,则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选B.因为=-2,所以=2.又M是BC的中点,所以=(+)=(++)==+.5.(2020·黄山模拟)已知向量a,b是两个不共线的向量,若向量m=4a+b与n=a-λb共线,则实数λ的值为()A.-4B.-C.D.4【解析】选B.由已知得m=kn,即4a+b=k(a-λb).所以解得6.矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2=()A.B.C.1D.【解析】选A.=+=+=+(+)=-,所以λ=,μ=-,所以λ2+μ2=.7.(2020·长治模拟)设向量a,b不共线,=2a+pb,=a+b,=a-2b,若A,B,D三点共线,则实数p的值为世纪金榜导学号()A.-2B.-1C.1D.2【解析】选B.因为=a+b,=a-2b,所以=+=2a-b.又因为A,B,D三点共线,所以,共线.设=λ,所以2a+pb=λ(2a-b),所以2=2λ,p=-λ,即λ=1,p=-1.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则的值为.【解析】设e1,e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c与xa+yb共线,得c=λ(xa+yb),所以e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x-2y)e2,所以所以则的值为.答案:9.(2020·侯马模拟)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.【解析】因为向量λa+b与a+2b平行,所以可设λa+b=k(a+2b),则所以λ=.答案:10.直线l上有不同的三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1-cosα)+sinα(α是锐角)总成立,则α=.世纪金榜导学号【解析】因为直线l上有不同的三点A,B,C,所以存在实数λ,使得=λ,所以-=λ(-),即=+λ,所以所以sinα=cosα,因为α是锐角,所以α=45°.答案:45°(15分钟35分)1.(5分)(2020·晋城模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A,B,C三点满足=+,则等于()A.1B.2C.3D.【解析】选C.因为=-=+-=,=-=+-=,所以=3.2.(5分)(2020·朔州模拟)在△ABC中,+=2,+=0,若=x+y,则()A.y=3xB.x=3yC.y=-3xD.x=-3y【解析】选D.因为+=2,所以点D是BC的中点,又因为+=0,所以点E是AD的中点,所以有:=+=-+=-+×(+)=-+,因此x=-,y=⇒x=-3y.3.(5分)(2020·合肥模拟)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则+2+3=()A.B.C.D.【解析】选D.因为D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,所以+2+3=(+)+2×(+)+3××(+)=+++++=++=+=.4.(10分)如图,在△ABC中,D为BC的四等分点,且靠近B点,E,F分别为AC,AD的三等分点,且分别靠近A,D两点,设=a,=b.世纪金榜导学号(1)试用a,b表示,,.(2)证明:B,E,F三点共线.【解析】(1)在△ABC中,因为=a,=b,所以=-=b-a,=+=+=a+(b-a)=a+b,=+=-+=-a+b.(2)因为=-a+b,=+=-+=-a+=-a+b=(-a+b),所以=,与共线,且有公共点B,所以B,E,F三点共线.5.(10分)经过△OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,n∈R+,求m+n的最小值.世纪金榜导学号【解析】设=a,=b,由题意知=×(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b,由P,G,Q三点共线得,存在实数λ,使得=λ,即nb-ma=λa+λb,从而消去λ得+=3.于是m+n=(m+n)=≥(2+2)=.当且仅当m=n=时,m+n取得最小值.
