核心素养测评二十七平面向量的坐标运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,给出下列向量组:①与;②与;③与;④与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A.①②B.①③C.①④D.③④【解析】选B.①中,不共线;③中,不共线.②④中的两向量共线,因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底,所以选B.2.(2020·渭南模拟)已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),c=(x,y),若3a-2b+c=0,则c=()A.(-23,-12)B.(23,12)C.(7,0)D.(-7,0)【解析】选A.由题意可得3a-2b+c=3(5,2)-2(-4,-3)+(x,y)=(23+x,12+y)=(0,0),所以解得所以c=(-23,-12).3.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)【解析】选A.=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以即所以N为(2,0).4.(2019·三亚模拟)已知平面向量=(1,2),=(3,4),则向量的模是()A.B.C.2D.5【解析】选C.因为向量=(1,2),=(3,4),所以=-=(1,2)-(3,4)=(-2,-2),所以||=2.5.(2020·大同模拟)已知向量a=(-1,2),b=(1,3),则|2a-b|=()A.B.2C.D.10【解析】选C.由已知,易得2a-b=2(-1,2)-(1,3)=(-3,1),所以|2a-b|==.6.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是()A.-B.C.D.【解析】选A.=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因为A,B,C三点共线,所以,共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-.【变式备选】已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)∥(m-n),则λ=.【解析】因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0.答案:07.(2019·葫芦岛模拟)在△ABC中,G为重心,记=a,=b,则=世纪金榜导学号()A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b【解析】选A.因为G为△ABC的重心,所以=(+)=a+b,所以=+=-b+a+b=a-b.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2020·渭南模拟)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为.【解析】因为ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8),所以所以所以m-n=2-5=-3.答案:-39.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),若ma-nb与2a+b共线(其中n∈R,且n≠0),则=.【解析】由a=(1,2),b=(-2,3),得ma-nb=(m+2n,2m-3n),2a+b=(0,7),由ma-nb与2a+b共线,得7(m+2n)=0,则=-2.答案:-210.(2020·合肥模拟)已知向量a=(m,n),b=(1,-2),若|a|=2,a=λb(λ<0),则m-n=.世纪金榜导学号【解析】因为a=(m,n),b=(1,-2),所以由|a|=2,得m2+n2=20,①由a=λb(λ<0),得②由①②,解得m=-2,n=4.所以m-n=-6.答案:-6(15分钟35分)1.(5分)已知向量=(2,x-1),=(1,-y)(xy>0),且∥,则+的最小值等于()A.2B.4C.8D.16【解析】选C.连接BC,DC,由∥得x-1+2y=0,即x+2y=1.又xy>0,所以+=(x+2y)=4++≥4+2=8.当且仅当x=,y=时取等号.2.(5分)(2020·山东省实验中学模拟)如图Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设=a,=b,则向量=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解析】选C.连接BD,DC,设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB,所以∠BAC=,∠ACB=,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=,根据圆的性质BD=CD=AB,又因为在Rt△ABC中,AB=AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,=+=a+b.3.(5分)(2020·南昌模拟)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),||=2||,则向量的坐标是.【解析】由点C是线段AB上一点,||=2||,得=-2.设点B为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2).则解得所以向量的坐标是(4,7).答案:(4,7)4.(10分)(2020·滁州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.世纪金榜导学号(1)若++=0,求||.(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n.【解析】(1)因为++=0,++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以解得即=(2,2),故||=2.(2)因为=m+n,=(1,2),=(2,1).所以(x,y)=(m+2n,2m+n),即两式相减,得m-n=y-x.5.(10分)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.世纪金榜导学号(1)求点M在第二或第三象限的充要条件.(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线.【解析】(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).点M在第二或第三象限⇔解得t2<0且t1+2t2≠0.故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.(2)当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).因为=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,所以A,B,M三点共线.
