点共球问题谢义光一、两点共球模型例1
在地球北纬圈上有A、B两地，它们的经度分别是东经与西经130°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（）A
分析：本题主要考查地球经度、纬度（在球体内部构建二面角与线面角）的概念与球面上两点间距离，具体涉及到球上两点A、B以及球心O、北纬45°圈的圆心O’
它们可构成如图1所示三棱锥，其中平面AO’B，（纬度），∠AO’B=90°（经度差），∠AOB为球心角，这样问题就变得显而易见了
图1因为，所以
这样A、B两点间的球面距离就为
点评：本题所构建的模型即为图1的三棱锥，在这个三棱锥中包括三种角：线面角——∠OAO’或∠OBO’，二面角——经度角——圆心角∠AO’B以及球心角∠AOB
弦AB是沟通小圆与大圆的纽带，利用这个三棱锥可以顺利解决有关球面上两点问题
这是本文提到的第一个模型
二、三点共球模型例2
已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径R的一半，且，则球的表面积是（）
分析：这是一道典型的三点同一球面问题，一般情况下，这类问题围绕球面上三点及球心共四点展开，可以构建如图2的模型三棱锥
在此三棱锥中，球心O与截面三角形ABC的外心的连线垂直于截面ABC，而且三条侧棱正好为球半径，问题的关键就集中在底面的形状上
本题中为正三角形，故为的中心
那么，在中，，则，从而得到，球的表面积
用心爱心专心115号编辑1图2三、四点共球例3
已知球的表面上四个点P、A、B、C，如果，且、PB、PC两两垂直，那么这个球的表面积是（）
分析：本题对空间想象力要求更高，若画图，则部分学生束手无策，利用补形法构建下列模型：由已知PA=PB=PC=a，且两两互相垂直，可将PA、PB、PC作为棱补出一个正方体，这个正方体是球内接正方体，它的体对角线就是球的直径
正方体的体对角线长为
