点共球问题谢义光一、两点共球模型例1.在地球北纬圈上有A、B两地，它们的经度分别是东经与西经130°，设地球半径为R，则甲、乙两地的球面距离是（）A.B.C.D.分析：本题主要考查地球经度、纬度（在球体内部构建二面角与线面角）的概念与球面上两点间距离，具体涉及到球上两点A、B以及球心O、北纬45°圈的圆心O’。它们可构成如图1所示三棱锥，其中平面AO’B，（纬度），∠AO’B=90°（经度差），∠AOB为球心角，这样问题就变得显而易见了。图1因为，所以。这样A、B两点间的球面距离就为。故选D。点评：本题所构建的模型即为图1的三棱锥，在这个三棱锥中包括三种角：线面角——∠OAO’或∠OBO’，二面角——经度角——圆心角∠AO’B以及球心角∠AOB。弦AB是沟通小圆与大圆的纽带，利用这个三棱锥可以顺利解决有关球面上两点问题。这是本文提到的第一个模型。二、三点共球模型例2.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径R的一半，且，则球的表面积是（）。A.B.C.D.分析：这是一道典型的三点同一球面问题，一般情况下，这类问题围绕球面上三点及球心共四点展开，可以构建如图2的模型三棱锥。在此三棱锥中，球心O与截面三角形ABC的外心的连线垂直于截面ABC，而且三条侧棱正好为球半径，问题的关键就集中在底面的形状上。本题中为正三角形，故为的中心。那么，在中，，则，从而得到，球的表面积。用心爱心专心115号编辑1图2三、四点共球例3.已知球的表面上四个点P、A、B、C，如果，且、PB、PC两两垂直，那么这个球的表面积是（）。A.B.C.D.分析：本题对空间想象力要求更高，若画图，则部分学生束手无策，利用补形法构建下列模型：由已知PA=PB=PC=a，且两两互相垂直，可将PA、PB、PC作为棱补出一个正方体，这个正方体是球内接正方体，它的体对角线就是球的直径。正方体的体对角线长为。球的表面积是。故选A。练一练1.在地球北纬60°圈上，有甲、乙两点，它们的纬度圈上的弧长等于，R为地球半径，求这两地点间的球面距离。2.球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这三点的小圆的周长为。那么这球的半径为（）A.B.C.D.3.过半径为R的球面上一点P，引球的三条两两垂直的弦PA，PB、PC，则________。参考答案：1.2.B3.用心爱心专心115号编辑2
