专题能力训练23不等式选讲(选修4—5)一、能力突破训练1.设a>0,|x-1|<,|y-2|<,求证:|2x+y-4|
f(x)在x∈R上有解,求实数t的取值范围.3.设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a的取值范围.4.(2018全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.5.已知函数f(x)=,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.6.设关于x的不等式|2x-a|+|x+3|≥2x+4的解集为A.(1)若a=1,求A;(2)若A=R,求a的取值范围.7.已知函数f(x)=|2x-1|+|x-a|,a∈R.(1)当a=3时,解不等式f(x)≤4;(2)若f(x)=|x-1+a|,求x的取值范围.二、思维提升训练8.已知函数f(x)=g(x)=af(x)-|x-2|,a∈R.(1)当a=0时,若g(x)≤|x-1|+b对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a=1时,求函数y=g(x)的最小值.9.已知函数f(x)=|x-3|-|x-a|.(1)当a=2时,解不等式f(x)≤-;(2)若存在实数a,使得不等式f(x)≥a成立,求实数a的取值范围.10.设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥3;(2)如果∀x∈R,f(x)≥2,求a的取值范围.专题能力训练23不等式选讲(选修4—5)一、能力突破训练1.证明因为|x-1|<,|y-2|<,所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-2|<2=a.2.解(1)原不等式等价于得-x<-3或-3≤x≤1或1f(x)在x∈R上有解,只需t2+3t大于f(x)的最小值,∴t2+3t>[f(x)]min=4⇒t2+3t-4>0⇒t<-4或t>1.3.(1)证明由a>0,有f(x)=+|x-a|+a≥2.故f(x)≥2.(2)解f(3)=+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5,得3-1;当--2时,|2x-a|+|x+3|=|2x-a|+x+3≥2x+4,即|2x-a|≥x+1,得x≥a+1或x,所以a+1≤-2或a+1,得a≤-2.综上,a的取值范围为a≤-2.7.解(1)当a=3时,函数f(x)=|2x-1|+|x-3|=如图,由于直线y=4和函数f(x)的图象交于点(0,4),(2,4),故不等式f(x)≤4的解集为(0,2).(2)由f(x)=|x-1+a|,可得|2x-1|+|x-a|=|x-1+a|.由于|2x-1|+|x-a|≥|(2x-1)-(x-a)|=|x-1+a|,当且仅当(2x-1)(x-a)≤0时取等号,故有(2x-1)(x-a)≤0.当a=时,可得x=,故x的取值范围为;当a>时,可得x≤a,故x的取值范围为;当a<时,可得a≤x,故x的取值范围为二、思维提升训练8.解(1)当a=0时,g(x)=-|x-2|(x>0),g(x)≤|x-1|+b⇔-b≤|x-1|+|x-2|.|x-1|+|x-2|≥|(x-1)-(x-2)|=1,当且仅当1≤x≤2时等号成立.故实数b的取值范围是[-1,+∞).(2)当a=1时,g(x)=当02-2=0;当x≥1时,g(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立;故当x=1时,函数y=g(x)取得最小值0.9.解(1)∵a=2,∴f(x)=|x-3|-|x-2|=∴f(x)≤-等价于解得x<3或x≥3,∴不等式的解集为(2)由不等式性质可知f(x)=|x-3|-|x-a|≤|(x-3)-(x-a)|=|a-3|,∴若存在实数x,使得不等式f(x)≥a成立,则|a-3|≥a,解得a∴实数a的取值范围是10.解(1)当a=-1时,f(x)=|x-1|+|x+1|,f(x)=作出函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图象.由图象可知,不等式f(x)≥3的解集为(2)若a=1,则f(x)=2|x-1|,不满足题设条件;若a<1,则f(x)=f(x)的最小值为1-a;若a>1,则f(x)=f(x)的最小值为a-1.故对于∀x∈R,f(x)≥2的充要条件是|a-1|≥2,a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
