专题58直线与圆锥曲线的位置关系之中点弦、焦点弦问题考纲要求:1．掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想．基础知识回顾:1．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝＝|y1－y2|(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用坐标轴上两点间距离公式)．2．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.在使用根与系数关系时，要注意使用条件是Δ≥0.应用举例:类型一弦的中点问题【例1】【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（）A.B.C.D.【答案】D【例2】【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】直线过点且与双曲线交于两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为()A.B.C.D.【答案】D【解析】设，则两式作差，得：即，又线段的中点恰好为点∴故选：D【例3】已知椭圆的弦的中点坐标为，则直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设两点的坐标分别为，由得，整理得，可得。所以直线AB的方程为，即。选A。点评：弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程．2．由中点弦确定曲线方程．3．由中点弦解决对称问题．类型二直线与圆锥曲线位置关系之焦点弦【例4】【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高三高考综合卷（一）】已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线交于，两点，且，则双曲线离心率的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【例5】已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为__________．解析：直线l的方程为y＝x＋1，联立得y2－14y＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.故填16.【例6】【2018届福建省福州市闽侯第六中学高三上学期期中】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的三角形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于两点，且直线与轴分别交于两点，求证：.【答案】(1);(2)详见解析.∴∴与互余，∴点评：直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．类型三中点弦问题【例7】已知双曲线与不过原点且不平行于坐标轴的直线相交于两点，线段的中点为，设直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A．B．C．2D．-2解析：设，则，根据点差法可得，所以直线的斜率为，直线的斜率为，，故选A.【例8】以点为中点且被椭圆所截得的弦所在的直线方程是()A.B.C.D.【答案】B【例9】已知椭圆C:()的右焦点为F(2,0),且过点P(2,).直线过点F且交椭圆C于A、B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）若线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(),求直线的方程。【答案】（1）；（2）或（2）当斜率不存在时,不符合题意，当斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x－2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中点为N(x0,y0),由得,因为,所以,所以,,因为线段AB的垂直平分线过点M(),所以,即,所以,解得,,所以直线l的方程为或点评：(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．（2）遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝.(3)对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为：①设点：即设出弦的两端点坐标．②代入：即代入圆锥曲线方程．③作...
