专题44多变量表达式范围（消元法、数形结合法、基本不等式法、规划法）考纲要求:在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值基础知识回顾:1、放缩法求最值的理论基础：不等式的传递性：若，则2、常见的放缩消元手段：（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。3、放缩消元过程中要注意的地方：（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”。放缩的方向应与不等号的方向一致（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到。同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去4、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式5、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。6、常见消元的方法：（1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式），则可利用等式进行消元，在消元的过程中要注意以下几点：①要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数的定义域）；二是构造出的函数能够解得值域（函数结构不复杂）②若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例如选择为主元，且有，则除了满足自身的范围外，还要满足（即解不等式）应用举例:类型一、多变量表达式的范围例1：三次函数在区间上是减函数，那么的取值范围是（）A.B.C.D.答案：D例2：设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立，如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（）A.B.C.D.答案：C例3：已知函数是上的减函数，函数的图像关于点对称，若实数满足不等式，且，则的取值范围是_____思路：从所求出发可联想到与连线的斜率，先分析已知条件，由对称性可知为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形：，即，所以有。再结合可作出可行域（如图），数形结合可知的范围是答案：类型二、放缩消元法例4：设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为____________答案：例5：已知是任意三点，，则的最小值是_______思路：因为，所以结合不等号的方向可将消去，从而转化为关于的表达式：，然后可从出发，构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值：，从而有：，所以答案：例6：设实数满足，则的最大值为__________思路：由可联想到与的关系，即，所以，然后可利用进一步放缩消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值为，其中等号成立条件为：答案：方法、规律归纳:消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取值共同影响），所以如果题目条件能够提供减少变量的方式，则通常利用条件减少变量的个数，从而有利于求表达式的范围（或最值），消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式，进而可构造函数求得值域实战演练:1．【四川省德阳市2018届高三三校联合测试】已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且,则的最小值是___________【答案】2．【河南省天一大联考2018届高三上学期阶段性测试（二）】已知，若，则当...
