专题48合理建系--巧证平行、垂直问题考纲要求:1．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．2．理解直线的方向向量及平面的法向量;能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．基础知识回顾:一、直线的方向向量和平面的法向量1．直线的方向向量：如果表示非零向量的有向线段所在直线与直线平行或重合，则称此向量为直线的方向向量．2．平面的法向量：直线⊥，取直线的方向向量，则向量叫作平面的法向量．二、空间位置关系的向量表示，如图1.应用举例:类型一、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系例1、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．解析：(1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝a，－a要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有a2－az0＝0，解得z0＝12.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝12.小结：求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n＝(0,0,0)不能作为法向量．类型二、利用正棱锥的中心与高所在的直线建立空间直角坐标系例2、如图4所示，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．(2)棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且＝，＝，＝设＝t，则＝＋＝＋t＝，而·＝0⇔t＝13.即当SE∶EC＝2∶1时，⊥.而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.类型三、利用面面垂直建立空间直角坐标系【例3】已知梯形如下图所示，其中，，为线段的中点，四边形为正方形，现沿进行折叠，使得平面平面，得到如图所示的几何体.已知当点满足时，平面平面，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C因为平面平面，所以，解得.故选C.点睛：求空间角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角），往往将其转化为直线的方向向量、平面的法向量之间所成的角的问题，再利用空间向量进行求解，但要注意空间角和空间向量所成的关系和区别.类型四、利用线面垂直建立空间直角坐标系【例4】如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，，是的中点.（1）求二面角的平面角的余弦值；（2）在被上是否存在点，使平面？证明你的结论.【答案】（1）;（2）见解析.则，，，，所以，，.（1）设是平面的一个法向量，则由，得；取，则，又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，，二面角为钝角，余弦值为.方法、规律归纳:1．用向量证明平行的方法（1）线线平行：证明两直线的方向向量共线．（2）线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．（3）面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．2．用向量证明垂直的方法（1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．（2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．（3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．实战演练:1．如图，三棱锥PABC中，已知PA⊥平面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，D，E分别为PB，PC中点（1）若PA＝2，求直线AE与PB所成角的余弦值；（2）若PA，求证：平面ADE⊥平面PBC【答案】（1），；（2）则cosθ＝||＝14即直线AE与PB所成角的余弦值为14考点：空间直角坐标系、空间向量、线线角以及面面垂直的证明2．【2017届南京市、盐城市高三年级第二次模拟考试】如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分别是BC，A1C的中点．（1...
