专题18恒成立问题你会多少考纲要求:1.理解不等式恒成立的基本概念，会根据不等式恒成立处理求参数范围的简单问题.2.通过自主学习与合作探究的教学过程，进一步提升学生自主学习的数学能力.3.通过本内容的教学，使学生掌握不等式恒成立与最值的关系，进一步了解数学各内容之间一种完美结合与渗透之美.基础知识回顾:恒成立：关于x的不等式f(x)≥0对于x在某个范围内的每个值不等式都成立，就叫不等式在这个范围内恒成立。若函数在区间上存在最小值和最大值，则:①不等式在区间上恒成立；②不等式在区间上恒成立；③不等式在区间上恒成立；④不等式在区间上恒成立；若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则：①不等式（或）在区间上恒成立；②不等式（或）在区间上恒成立；应用举例类型一、函数性质法1.一次函数若内恒有,则根据函数的图像可得可合并成,同理若内恒有则有【例1】对于满足的所有实数,求使不等式恒成立的的取值范围.【答案】或.2.二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立．类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立例2【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C.D．【答案】A3.其它函数：对于恒成立的问题，常用到以下结论：（1）；（2）；（3）恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．例3已知函数满足,其中,且.（1）求函数的解析式，并判断其奇偶性；（2）当时,的值恒为负数,求实数的取值范围【答案】（1），奇函数；（2）.类型二、分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例4【浙江省绍兴市柯桥区2016届高三教学质量调测】对任意不等式恒成立,则实数的取值范围是．【答案】【解析】设,则,,故原不等式转化为,即,所以,即.故应填答案.例5．已知函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(－4,0]．(2).类型三、主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．例6．若不等式的所有都成立，则的取值范围__________.【答案】类型四、数形结合若所给不等式进行合理的变形化为（或）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．例7．求证：，对于恒有成立.【答案】证明见解析.【解析】原方程可化为，由图像可知，，函数单调递增，故得证.类型四、消元转化法例8．已知是定义在上的奇函数，且，若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．【答案】方法、规律归纳:上述例子剖析了数学高考中恒成立问题的常见题型及解法，解决这类题目要看清式子的特征，选择合适的方法，以便事半功倍.(1)对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是容易漏掉的地方.（2）恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性.(3)一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式.(4)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比...
