专题05四种命题及其相互关系的智能转化考纲要求:1、了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系；2、给出四种命题中的一种，能够写出其他的三种.基础知识回顾:1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系（1）四种命题原命题：若则；原命题的逆命题：若则；原命题的否命题：若则；原命题的逆否命题：若则。【注】命题的否定：若则。（命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论。）（2）四种命题间的关系（3）四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.应用举例:类型一、四种命题之间的关系【例1】【2017河北冀州中学高三摸底考试】命题“若a2>b2，则a>b”的否命题是()A．若a2>b2，则a≤bB．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2>b2D．若a≤b，则a2≤b2【答案】B【解析】根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．该题中，p为a2>b2，q为a>b，故p为a2≤b2，q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.【例2】【2017江苏省泰州中学高三摸底】命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题【答案】C【解析】根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．类型二、命题的真假判断【例3】【江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试】对于下列说法正确的是()A.若是奇函数，则是单调函数B.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”C.命题，则，D.命题“”是真命题【答案】D【例4】【天津市红桥区2017届高三二模】已知下列命题：①函数有最小值2；②“”的一个必要不充分条件是“”；③命题：，；命题：，.则命题“”是假命题；④函数在点处的切线方程为.其中正确命题的序号是__________．【答案】③④【解析】，设，在上为增函数，的最小值为，①错误；②，“”的一个必要不充分条件是“”，错误；③命题：，，为真命题；命题：，，为真命题；则命题“”是假命题，正确；④函数在点处的切线方程为，正确；正确命题的序号为③④.【点睛】对每个命题进行判断，研究函数的最值首先要考虑函数的定义域；判断充要条件要搞清谁是条件，谁是结论；判断复合命题的真假首先要判断两个简单命题的真假；利用导数求切线方程要明确导数的几何意义.类型三、命题的否定与否命题【例5】【2017河北邯郸市成安一中高三入学考试】“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为______________________________．该命题的否定为______________________________．【答案】在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角【解析】原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．命题的否定是否定命题的结论，即“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角”。类型四、已知命题真假求参数范围【例6】【2017山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中高三联考】已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．【答案】∪[1，＋∞).故或解得a≥1或0
