圆锥曲线17二、填空题13.椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。【答案】3【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.【解析】当直线过右焦点时的周长最大，；将带入解得；所以.14.右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.15.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则=.【答案】【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设A,B的坐标分别为的，则，设，则，所以有，解得或，所以.16.已知P，Q为抛物线上两点，点P，Q的横坐标分别为4，2，过P、Q分别作抛物线的切线，两切线交于A，则点A的纵坐标为__________。【答案】4【解析】因为点P，Q的横坐标分别为4，2，代人抛物线方程得P，Q的纵坐标分别为8,2.由所以过点P，Q的抛物线的切线的斜率分别为4，2，所以过点P，Q的抛物线的切线方程分别为联立方程组解得故点A的纵坐标为417.椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.18.在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．【答案】2。【解析】由得。∴，即，解得。解答题19.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：是定值．（2）由（1）得，，又∵∥，∴设、的方程分别为，。∴。∴。①同理，。②（i）由①②得，。解得=2。∵注意到，∴。∴直线的斜率为。∴由①②得，，，∴。∴是定值。20.如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，代入椭圆：．显然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴|AB|＝||＝＝．∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：．∴SABP＝d|AB|＝|m＋2|，当|m＋2|＝，即m＝﹣3或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝．此时直线l的方程y＝﹣．
