高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 数列的前n项和与等差数列的前n项和练习 新人教A版必修5-新人教A版高一必修5数学试题VIP免费

2.3第1课时数列的前n项和与等差数列的前n项和A级基础巩固一、选择题1．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是()A．12B．24C．36D．48解析：由S10＝，得a1＋a10＝＝＝24.答案：B2．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．663解析：因为a1＝2，d＝7，2＋(n－1)×7<100，所以n<15，所以n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.答案：B3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．29解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.所以n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．答案：B4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝()A．12B．14C．16D．18解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.答案：B5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于()A．1B．－1C．2D.解析：＝＝＝＝×＝1.答案：A二、填空题6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则{an}的通项an＝________．解析：设等差数列首项为a1，公差为d，则即所以所以an＝a1＋(n－1)d＝2n.答案：2n7．一个等差数列前12项的和为354，其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32∶27，则公差d＝________．解析：S12＝354，所以S奇＝354×＝162，S偶＝354×＝192，所以S偶－S奇＝30＝6d，所以d＝5.答案：58．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n项和，则S10＝________．解析：an＝2n－30，令an＜0，得n＜15，即在数列{an}中，前14项均为负数，所以S10＝－(a1＋a2＋a3＋…＋a10)＝－(a1＋a10)＝－5[(－28)＋(－10)]＝190.答案：190三、解答题9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；(2)若Sn＝242，求n.解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则解得所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋·2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5＋a13＝34，S3＝9.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式．(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a5＋a13＝34，S3＝9.所以整理得解得所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n×1＋×2＝n2.(2)由(1)知bn＝，所以b1＝，b2＝，bm＝，若b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列，则2b2＝b1＋bm，所以＝＋，即6(1＋t)(2m－1＋t)＝(3＋t)(2m－1＋t)＋(2m－1)·(1＋t)(3＋t)，整理得(m－3)t2－(m＋1)t＝0，因为t是正整数，所以(m－3)t－(m＋1)＝0，m＝3时显然不成立，所以t＝＝＝1＋，又因为m≥3，m∈N，所以m＝4或5或7，当m＝4时，t＝5；当m＝5时，t＝3；当m＝7时，t＝2.所以存在正整数t，使得b1，b2，bm(m≥3，m∈N)成等差数列．即当t＝5时，b1，b2，b4成等差数列；当t＝3时，b1，b2，b5成等差数列；当t＝2时，b1，b2，b7成等差数列．B级能力提升1．若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*),则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9解析：因为an＋1－an＝－3，所以数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.设前k项和最大，则有所以所以≤k≤，因为k∈N*，所以k＝7.故满足条件的n的值为7.答案：B2．在等差数列{an}中，a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，则满足Sn＜0的n的最大值为________．解析：因为a10＜0，a11＞0，且a11＞|a10|，所以a11＞－a10，a1＋a20＝a10＋a11＞0，所以S20＝＞0.又因为a10＋a10＜0，所以S19＝＝19a10＜0，故满足Sn＜0的n的最大值为19.答案：193．设数列{an}的前n项和为Sn，点(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)依题意，得＝3n－2，即Sn＝3n2－2n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；当n＝1时，a1＝1也适合．即an＝6n－5.(2)由(1)得bn＝＝＝，故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.