第3节数学归纳法（答题时间：60分钟）一、选择题1.用数学归纳法证明等式，从k到k＋1左端需增乘的代数式为（）A.2k＋1B.2（2k＋1）C.D.2.用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）A.2k－1B.2k－1C.2kD.2k＋13.对于不等式＜n＋1（n∈N*），某同学的证明过程如下：（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立。（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝（k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立。则上述证法（）A.过程全部正确B.n＝1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确4.下列代数式（其中k∈N*）能被9整除的是（）A.6＋6·7kB.2＋7k－1C.2（2＋7k＋1）D.3（2＋7k）5.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为（）A.a＝，b＝c＝B.a＝b＝c＝C.a＝0，b＝c＝D.不存在这样的a、b、c6.在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n（2n－1）an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是（）A.B.C.D.二、填空题7.猜想1＝1,1－4＝－（1＋2）,1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为__________________________________。8.如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来（n＝1,2,3，…），则第n－2（n≥3，n∈N*）个图形中共有________个顶点。9.设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点。若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）＝________；当n＞4时，f（n）＝________（用n表示）。三、解答题10.已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N*），且点P1的坐标为（1，－1）。（1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上。11.数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝（1＋cos2）an＋sin2，n＝1,2,3，…（1）求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn。证明：当n≥6时，|Sn－2|＜。12.设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…。（1）求a1，a2；（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明。1.B解析：当n＝1时，等式显然成立。当n＝k时，左边＝（k＋1）·（k＋2）…（k＋k），当n＝k＋1时，左边＝（k＋1＋1）·（k＋1＋2）…（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1）＝（k＋2）（k＋3）…（k＋k）（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1）＝（k＋1）（k＋2）…（k＋k）＝（k＋1）（k＋2）…（k＋k）·2（2k＋1）。2.C解析：增加的项数为（2k＋1－1）－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2k。3.D解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设。4.D解析：（1）当k＝1时，显然只有3（2＋7k）能被9整除。（2）假设当k＝n（n∈N*）时，命题成立，即3（2＋7n）能被9整除，那么3（2＋7n＋1）＝21（2＋7n）－36。这就是说，k＝n＋1时命题也成立。由（1）（2）可知，命题对任何k∈N*都成立。5.A解析： 等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：，整理得，解得a＝，b＝c＝。6.C解析：由a1＝，Sn＝n（2n－1）an，得S2＝2（2×2－1）a2，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝＝，S3＝3（2×3－1）a3，即＋＋a3＝15a3。∴a3＝＝，a4＝。由此猜想。7.1－4＋9－…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n－1（1＋2＋3＋…＋n）。8.解析：当n＝1时，顶点共有12＝3×4（个），n＝2时，顶点共有20＝4×5（个），n＝3时，顶点共有30＝5×6（个），n＝4时，顶点共有42＝6×7（个），故第n个图形共有顶点（n＋2）（n＋3）个，∴第n-2个图形共有顶点n（n＋1）个。9.5，解析：f（2）＝0，f（3）＝2，f（4）＝5，f（5）＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数。∴f（3）－f（2）＝2，f（4）－f（3）＝3，f（5）－f（4）＝4，…f（n）－f（n－1）＝n－1。累加，得f（n）－f（2）＝2＋3＋4＋…＋（n－1）＝（n－2）。∴f（n）＝（n＋1）（n－2）。10.解：（1）由P1的坐标为（1，－1）知a1＝1，b1＝－1。∴b2＝＝。a2＝a1·b2＝。∴点P2的坐标为（，），∴直线l的方程为2x＋y＝1。（2）①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）...
