第二课时对数的运算1.下列等式成立的是(C)(A)log2(8-4)=log28-log24(B)=log2(C)log28=3log22(D)log2(8+4)=log28+log24解析:由对数的运算性质易知C正确.2.对于a>0且a≠1,下列说法中正确的是(C)①若M=N,则logaM=logaN;②若logaM=logaN,则M=N;③若logaM2=logaN2,则M=N;④若M=N,则logaM2=logaN2.(A)①③(B)②④(C)②(D)①②③④解析:①中当M=N≤0时,logaM,logaN都没有意义,故不正确;②正确;③中当M,N互为相反数且不为0时,也有logaM2=logaN2,此时M≠N,不正确;④中当M=N=0时,logaM2,logaN2都没有意义,故不正确.综上知选C.3.若lgm=b-lgn,则m等于(D)(A)(B)10bm(C)b-10n(D)解析:由题知lgm+lgn=b,即lg(mn)=b,解得10b=mn,所以m=.故选D.4.设lg2=a,lg3=b,则log512等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:log512=====.故选C.5.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,则(B)(A)=+(B)=+(C)=+(D)=+解析:设3a=4b=6c=t,则a=log3t,b=log4t,c=log6t.所以=logt3,=logt4,=logt6.所以+=logt9+logt4=2logt6=.选B.6.已知log32=a,3b=5,则log3由a,b表示为(A)(A)(a+b+1)(B)(a+b)+1(C)(a+b+1)(D)a+b+1解析:由3b=5得b=log35,所以log3=log330=(log33+log32+log35)=(1+a+b).故选A.7.若x1,x2是方程(lgx)2+(lg2+lg3)·lgx+lg2·lg3=0的两根,则x1x2等于(C)(A)lg2+lg3(B)lg2·lg3(C)(D)-6解析:由题知lgx1+lgx2=-(lg2+lg3)=-lg6,则lg(x1x2)=-lg6=lg,故x1x2=,选C.8.已知x,y,z都是大于1的正数,m>0,且logxm=24,logym=40,logxyzm=12,则logzm的值为(B)(A)(B)60(C)(D)解析:logm(xyz)=logmx+logmy+logmz=,而logmx=,logmy=,故logmz=-logmx-logmy=--=,即logzm=60.故选B.9.已知2lg(x+y)=lg2x+lg2y,则=.解析:因为2lg(x+y)=lg2x+lg2y,所以lg(x+y)2=lg(4xy),所以(x+y)2=4xy,即(x-y)2=0.所以x=y,所以=1.答案:110.已知log34·log48·log8m=log416,则m=.解析:由题知··=log416=log442=2,所以=2,即lgm=2lg3=lg9,所以m=9.答案:911.已知=(a>0),则loa=.解析:因为=(a>0),所以=,所以a=()3,故loa=lo()3=3.答案:312.若lga,lgb是方程2x2-4x+1=0的两根,则(lg)2=.解析:由题知则(lg)2=(lga-lgb)2=(lga+lgb)2-4lga·lgb=22-4×=2.答案:213.求下列各式的值:(1)4lg2+3lg5-lg;(2)log220-log25+log23·log34;(3);(4)已知log189=a,18b=5,用a,b表示log3645的值.解:(1)原式=4lg2+3lg5+lg5=4lg2+4lg5=4.(2)原式=log2+log23·=log24+log24=2log24=4.(3)原式====.(4)因为log189=a,18b=5,所以log185=b,于是log3645======.14.解下列关于x的方程:(1)lg=lg(x-1);(2)log4(3-x)+log0.25(3+x)=log4(1-x)+log0.25(2x+1).解:(1)原方程等价于解之得x=2.经检验x=2是原方程的解,所以原方程的解为x=2.(2)原方程可化为log4(3-x)-log4(3+x)=log4(1-x)-log4(2x+1).即log4=log4.整理得=,解之得x=7或x=0.当x=7时,3-x<0,不满足真数大于0的条件,故舍去.x=0满足,所以原方程的解为x=0.15.已知二次函数f(x)=(lga)x2+2x+4lga的最小值为3,求(loga5)2+loga2·loga50的值.解:因为f(x)=(lga)x2+2x+4lga存在最小值3,所以lga>0,f(x)min=f(-)=4lga-=3,即4(lga)2-3lga-1=0,则lga=1,所以a=10,所以(loga5)2+loga2·loga50=(lg5)2+lg2·lg50=(lg5)2+lg2(lg5+1)=(lg5)2+lg2lg5+lg2=lg5(lg2+lg5)+lg2=lg5+lg2=1.16.若2.5x=1000,0.25y=1000,则-等于(A)(A)(B)3(C)-(D)-3解析:因为x=log2.51000,y=log0.251000,所以==log10002.5,同理=log10000.25,所以-=log10002.5-log10000.25=log100010==.故选A.17.已知log2x=log3y=log5z<0,则,,的大小排序为(A)(A)<<(B)<<(C)<<(D)<<解析:x,y,z为正实数,且log2x=log3y=log5z<0,所以=2k-1,=3k-1,=5k-1,可得,=21-k>1,=31-k>1,=51-k>1.即1-k>0,因为函数f(x)=x1-k单调递增,所以<<.故选A.18.已知logax=2,logbx=3,logcx=6,则log(abc)x的值为.解析:因为logax=2,logbx=3,logcx=6,则a2=x,b3=x,c6=x,所以a=,b=,c=,所以abc==x,所以log(abc)x=logxx=1.答案:119.下列给出了x与10x的七组近似对应值:组号一二三四五六七x0.301030.477110.698970.778150.903091.000001.0791810x235681012假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是第组.解析:由指数式与对数式的互化可知,10x=Nx=lgN,⇔将已知表格转化为下表:组号一二三四五六七N235681012lgN0.301030.477110.698970.778150.903091.000001.07918因为lg2+lg5=0.30103+0.69897=1,所以第一组、第三组对应值正确.又显然第六组正确,因为lg8=3lg2=3×0.30103=0.90309,所以第五组对应值正确.因为lg12=lg2+lg6=0.30103+0.77815=1.07918,所以第四组、第七组对应值正确.所以只有第二组错误.答案:二20.若a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.解:原方程可化为2(lgx)2-4lgx+1=0.设t=lgx,则方程化为2t2-4t+1=0,所以t1+t2=2,t1·t2=.又因为a,b是方程2(lgx)2-lgx4+1=0的两个实根,所以t1=lga,t2=lgb,即lga+lgb=2,lga·lgb=.所以lg(ab)·(logab+logba)=(lga+lgb)·(+)=(lga+lgb)·=(lga+lgb)·=2×=12,即lg(ab)·(logab+logba)=12.
