第二章2.2第1课时A组·素养自测一、选择题1．下列不等式中正确的是(D)A．a＋≥4B．a2＋b2≥4abC．≥D．x2＋≥2[解析]a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a2＋b2<4ab，故B错；a＝4，b＝16，则<，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．不等式(x－2y)＋≥2成立的条件为(B)A．x≥2y，当且仅当x－2y＝1时取等号B．x>2y，当且仅当x－2y＝1时取等号C．x≤2y，当且仅当x－2y＝1时取等号D．x<2y，当且仅当x－2y＝1时取等号[解析]因为不等式成立的前提条件是各项均为正，所以x－2y>0，即x>2y，且等号成立时(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故选B．3．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是(D)A．10B．25C．5D．2[解析]a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，故选D．4．已知0
>0，a＋b＝1，∴>，∴a2＋b2>. b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．6．已知a>0，b>0，A＝，B＝，C＝，则A，B，C的大小关系为(D)A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤A[解析]由基本不等式可知，A≥B，≤＝，所以B≥C，当a＝b时等号成立．故选D．二、填空题7．若a<1，则a＋与－1的大小关系是__a＋≤－1__.[解析]因为a<1，即a－1<0，所以－＝(1－a)＋≥2＝2(当且仅当1－a＝，即a＝0时取等号)．即a＋≤－1.8．已知a>b>c，则与的大小关系是__≤__.[解析]因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0.≤＝.当且仅当a－b＝b－c，即a＋c＝2b时，等号成立．所以≤.9．设x>0，则的最小值为__2－1__.[解析]由x>0，可得x＋1>1.令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，则＝＝t＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当t＝，即x＝－1时，等号成立．三、解答题10．当x取什么值时，x2＋取得最小值？最小值是多少？[解析]x2＋≥2＝2，当且仅当x2＝，即x＝±1时等号成立．∴x＝1或－1时，x2＋取得最小值，最小值为2.11．已知x，y都是正数，且x≠y，求证：(1)＋>2；(2)<.[证明](1) x>0，y>0，∴>0，>0，∴＋≥2＝2，∴＋≥2.由于当且仅当＝，即x＝y时取“＝”，但x≠y，因此不能取“＝”．∴＋>2.(2) x>0，y>0，x≠y，∴x＋y>2，∴<1，∴<，∴<.B组·素养提升一、选择题1．(2019·广东湛江一中高二上第二次大考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为(B)A．B．2C．D．5[解析] x＋3y＝5xy，x>0，y>0，∴＋＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)·(＋)＝＋＋≥＋2·＝5，当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，∴当3x＋4y取得最小值时，x＝2y＝1，∴x＋2y的值为2，故选B．2．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是(B)A．B．C．D．[解析]由x2＋3xy－1＝0可得y＝(－x)．因为x>0，所以x＋y＝＋≥2＝2＝(当且仅当＝，即x＝时，等号成立)．故x＋y的最小值为.3．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(ABC)A．ab<1B．1，a＋b＝2，∴>1，∴ab<1<.4．(多选题)下列结论正确的是(AD)A．当x>0时，＋≥2B．当x>2时，x＋的最小值是2C．当x<时，y＝4x－2＋的最小值为5D．当x>0，y>0时，＋≥2[解析]在A中，当x>0时，>0，＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，结论成立；在B中，当x>2时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，但x>2取不到1，因此x＋的最小值不是2，结论错误；在C中，因为x<，所以5－4x>0，则y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2×＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时取等号，结论错误；显然D正确，故选AD．二、填空题5．已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是____.[解析] x＋3y≥2，∴2≤1，即xy≤，等号成立的条件为x＝3y＝，即x＝，y＝.6．当x>0时，若2x＋(a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝__18__.[解析] a>0，且2x＋≥2＝2，当且仅当2x＝，即x＝时，2x＋取得最小值，∴＝3，解得a＝18.7．已知3a＋2b＝1，a>0，b>0，则＋的最小值为__8＋4__.[解析] 3a＋2b＝1，∴＋＝(3a＋2b)＝8＋＋≥8＋2＝8＋4，当且仅当a＝，b＝时取到最...
