第1课时函数的奇偶性A级：“四基”巩固训练一、选择题1．给定四个函数：①f(x)＝x3＋，②f(x)＝，③f(x)＝x3＋1，④f(x)＝，其中是奇函数的有()A．①③B．①④C．③④D．②④答案B解析②中函数的定义域为(0，＋∞)，故为非奇非偶函数，③也是非奇非偶函数．2．下面四个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定通过坐标原点；③偶函数的图像关于y轴对称；④既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4答案A解析偶函数的图像关于y轴对称，但不一定与y轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但若在原点处没有意义，就不过原点，故②错误；若y＝f(x)既是奇函数，也是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误．故选A.3．若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A．f(x)f(－x)>0B．f(x)f(－x)<0C．f(x)f(－x)答案B解析 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数答案A解析由函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，得b＝0，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx化为g(x)＝ax3＋cx，定义域关于原点对称，且满足g(－x)＝－g(x)，所以g(x)＝ax3＋cx是奇函数．5．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝则f[f(－2)]的值为()A．1B．3C．－2D．－3答案A解析 函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝2－2＝0，f(0)＝0＋1＝1.∴f[f(－2)]＝f(0)＝1.故选A.二、填空题6．函数f(x)＝－x的图像关于________对称．答案原点解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－－(－x)＝x－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图像关于原点对称．7．若函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝________.答案－x2＋3x－2解析 f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，又函数f(x)为奇函数，函数g(x)为偶函数，∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2.8．设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝________.答案－3解析 函数y＝f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)． f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴－f(2)－f(1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴2f(1)＋2f(2)＝－6，∴f(1)＋f(2)＝－3.三、解答题9．判断函数f(x)＝的奇偶性．解由得故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有x＋2>0，所以f(x)＝＝，这时有f(－x)＝＝－＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数．10．已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3.(1)试证明函数f(x)是偶函数；(2)画出f(x)的图像；(3)请根据图像指出函数f(x)的单调递增区间与单调递减区间．(不必证明)解(1)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)2－4|－x|＋3＝x2－4|x|＋3＝f(x)，故f(x)为偶函数．(2)如图：(3)递增区间有：(－2,0)，(2，＋∞)，递减区间有：(－∞，－2)，(0,2)．B级：“四能”提升训练1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝(2)f(x)＝解(1)由题意，知f(x)的定义域为(－6，－1]∪[1,6)，关于原点对称．当x∈(－6，－1]时，－x∈[1,6)，所以f(－x)＝(－x－5)2－4＝(x＋5)2－4＝f(x)；当x∈[1,6)时，－x∈(－6，－1]，所以f(－x)＝(－x＋5)2－4＝(x－5)2－4＝f(x)．综上所述，知对于任意的x∈(－6，－1]∪[1,6)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝是偶函数．(2)f(x)的定义域为R，关于原点对称．当x＝0时，－x＝0，所以f(x)＝f(0)＝0，f(－x)＝f(0)＝0，所以f(－x)＝－f(x)．当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝－(－x)2－2(－x)－3＝－(x2－2x＋3)＝－f(x)．当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝－(－x2－2x－3)＝－f(x)．综上可知，当x∈R时，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．2．(1)已知函数f(x)，x∈R，若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数；(2)设函数f(x)定义在(－l，l)上...
