3.2.1一元二次不等式的解法[A基础达标]1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是()A．{x|x≤－2或x≥1}B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2≤x≤1}D．∅解析：选C.－x2－x＋2≥0⇔x2＋x－2≤0⇔(x＋2)(x－1)≤0⇔－2≤x≤1.2．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0;②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0;④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是()A．①B．②C．③D．④解析：选C.①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化2x2－3x＋3<0所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)＜0的实数x的取值范围为()A．(0，2)B．(－2，1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－1，2)解析：选B.由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2＜0，所以－2＜x＜1.4．不等式2x2＋2x－4≤的解集为()A．[－1，3]B．[－3，－1]C．[－3，1]D．[1，3]解析：选C.2x2＋2x－4≤⇔2x2＋2x－4≤2－1，即x2＋2x－4≤－1，所以x2＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，故选C.5．已知2a＋1<0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2>0的解集是()A．{x|x>5a或x<－a}B．{x|x<5a或x>－a}C．{x|－a
0，所以(x－5a)(x＋a)>0.因为a<－，所以5a<－a.所以不等式的解为x>－a或x<5a.故选B.6．不等式x(3－x)≥x(x＋2)＋1的解集是________．解析：原不等式即为3x－x2≥x2＋2x＋1，可化为2x2－x＋1≤0，由于判别式Δ＝－7＜0，所以方程2x2－x＋1＝0无实数根，因此原不等式的解集是∅.答案：∅7．已知关于x的不等式ax－b>0的解集是(－∞，1)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是________．解析：由不等式ax－b>0的解集是(－∞，1)，可知a<0，且a＝b，则不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集等价于不等式(x＋1)(x－3)<0的解集，即不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集为(－1，3)．答案：(－1，3)8．若关于x的不等式x2－3x＋t<0的解集为{x|10的解集；(2)若不等式f(x)＋1>0的解集为，求m的值．解：(1)当m＝1时，不等式f(x)>0为2x2－x>0，因此所求解集为(－∞，0)∪.(2)不等式f(x)＋1>0，即(m＋1)x2－mx＋m>0，由题意知，3是方程(m＋1)x2－mx＋m＝0的两根，因此⇒m＝－.[B能力提升]11．若关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a∈R)的解集为，则a的取值范围为()A．a<0或a>1B．a>1C．00，方程(ax－1)(x－1)＝0的两根为x1＝1，x2＝，且<1，则a的取值范围为a>1，故选B.12．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．解析：由题意有或解得－1＜x＜0或0≤x＜－1，所以所求x的取值范围为(－1，－1)．答案：(－1，－1)13．已知：f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab，当x∈(－3，2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)c为何值时，ax2＋bx＋c≤0的解集为R.解：(1)因为不等式f(x)>0的解集为x∈(－3，2)．所以－3，2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根．所以且a<0，可得所以f(x)＝－3x2－3x＋18.(2)由a<0，知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，要使不等式－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，故c≤－.所以当c≤－时，不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R.14．(选做题)已知不等式mx2＋nx－<0的解集为.(1)求m，n的值；(2)解关于x的不等式：(2a－1－x)(x＋m)>0，其中a是实数．解：(1)由不等式mx2＋nx－<0的解集为，得方程mx2＋nx－＝0的两根为－，2，且m<0，则解得m＝－1，n＝.(2)由第一问知，不等式可化为(2a－1－x)(x－1)>0，即[x－(2a－1)](x－1)<0，而方程[x－(2a－1)](x－1)＝0的两根为x1＝2a－1，x2＝1，①当2a－1<1，即a<1时，原不等式的解集为{x|2a－11，即a>1时，原不等式的解集为{x|1
