3.2简单的三角恒等变换1课后集训基础达标1.当tan≠0时,tan的值与sina的值()A.同号B.异号C.有时同号有时异号D.sinα可能为零解析:因为tan=,又因为tan≠0,∴≠kπ,k∈Z,a≠2kπ.∴1+cosα>0.∴sinα与tan同号.∴应选A.答案:A2.已知180°<α<360°,则cos的值等于()A.B.C.D.解析:∵cos2=,∵180°<α<360°,∴90°<<180°.∴cos=-.∴应选C.答案:C3.若α是第一象限角,则tan等于()A.B.-C.±D.以上答案都不是解析:∵2kπ<α<+2kπ,k∈Z,∴kπ<<+kπ,k∈Z.当k=2n(n∈Z)时,2nπ<<+2nπ,n∈Z,此时在第一象限.当k=2n+1时,2nπ+π<<+2nπ,n∈Z,此时在第三象限,∴tan恒正.∴tan=.∴应选A.答案:A4.若cosθ=,且270°<θ<360°,则cos的值为()A.B.C.±D.-解析:∵270°<θ<360°,∴135°<<180°.∴cos=.∴应选D.答案:D5.若cosα=,则sin的值为()A.B.-C.±D.±解析:∵cosα=,∴α是一、四象限角.当α是一象限角时,为一、三象限角,α是四象限角时,是二、四象限角,故sin=±=±.∴应选C.答案:C6.已知sinθ=-,3π<θ<,则tan=___________.解析:∵sinθ=-,又∵3π<θ<,∴cosθ=.∴tan=.答案:-3综合运用7.若方程sinx+cosx+2a-1=0,在[0,π]上有两个不相等的实数根,则实数α的取值范围是()A.[,2]B.(,2)C.[-,]D.(-,]解析:将方程变形为:2(sinx+cosx)=1-2a,即:sin(x+)=令y1=sin(x+).y2=,z=x+.∵x∈[0,π],则z∈[,π].如下图所示:当≤<1时,直线y2=与y1=sin(x+)的图象有两个交点,即当-<a≤时,两个图象有两个交点,也就是方程sinx+cosx=1-2a有两个实根,∴a∈(-,],∴应选D.答案:D8.已知sin-cos=-,450°<α<540°,则tan=___________解析:将sin-cos=-.两边平方得,1-sinα=,解得:sinα=,∵450°<α<540°,∴cosα=-.∴tan=答案:29.已知函数f(x)=5sinxcosx-5cos2x+(x∈R),求f(x)图象的对称轴、对称中心.解:f(x)=sin2x-×=sin2x-cos2x=5(sin2x-cos2x)=5(sin2xcos-cos2xsin)=5sin(2x-)令2x-=kπ+,得x=kπ+.k∈Z,即函数f(x)的对称轴方程是x=kπ+,k∈Z.令2x-=kπ,得x=kπ+,k∈Z,即函数f(x)的对称中心是(kπ+,0),k∈Z.拓展探究10.若函数f(x)=+sinx+a2sin(x+)的最大值为+3,试确定常数a的值.解:f(x)=+sinx+a2sin(x+)=cosx+sinx+a2sin(x+)=sin(x+)+a2sin(x+)=(2+a2)sin(x+).当sin(x+)=1时,f(x)取得最大值+a2.∴+a2=+3.解得a=±3.备选习题11.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=,则sinαsinβ=___________解析:∵cos(α+β)=,cos(α-β)=,∴由②-①得:2sinαsinβ=,∴sinαsinβ=.答案:12.化简:=___________.解析:原式=.答案:cot13.已知sin(α+β)=,sin(α-β)=.求证:(1)sinαcosβ=5cosαsinβ;(2)tanα=5tanβ.证明:(1)由已知得,sinαcosβ+cosαsinβ=,①sinαcosβ-cosαsinβ=.②由①+②得:sinαcosβ=,①-②得:cosαsinβ=,∴sinαsinβ=5cosαsinβ.(2)由sinαcosβ=5cosαsinβ,两边同除以cosαcosβ得:tanα=5tanβ,问题得证.14.已知函数f(x)=-(sinx+cosx)2+2cos2x,x∈[0,].(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的最小值.解:f(x)=(cos2x-sin2x)-2sinxcosx=cos2x-sin2x=2cos(2x+).(1)最小正周期是π.(2)由x∈[0,]得,2x+∈[,],所以当2x+=π,即x=时,f(x)的最小值为.15.求函数f(x)=cos2x+sin2x-4sinx·cosx(≤x≤)的最小值,并求取得最小值时x的值.解:由降幂公式和倍角公式,得f(x)=-2sin2x=2cos2x-2sin2x+3=4cos(2x+)+3.∵≤x≤,≤2x+≤,∴-≤cos(2x+)≤-.∴f(x)的最小值是,此时x=.16.若函数f(x)=-asincos(π-)的最大值为2,试确定常数a的值.解:f(x)=+asincos=cosx+sinx=sin(x+φ),其中角φ满足sinφ=,由已知有+=4.解之得,a=±.