3.2简单的三角恒等变换1课后集训基础达标1.当tan≠0时，tan的值与sina的值（）A.同号B.异号C.有时同号有时异号D.sinα可能为零解析：因为tan=，又因为tan≠0，∴≠kπ，k∈Z，a≠2kπ.∴1+cosα＞0.∴sinα与tan同号.∴应选A.答案：A2.已知180°＜α＜360°，则cos的值等于（）A.B.C.D.解析：∵cos2=，∵180°＜α＜360°，∴90°＜＜180°.∴cos=-.∴应选C.答案：C3.若α是第一象限角，则tan等于（）A.B.-C.±D.以上答案都不是解析：∵2kπ＜α＜+2kπ，k∈Z，∴kπ＜＜+kπ，k∈Z.当k=2n（n∈Z）时，2nπ＜＜+2nπ，n∈Z，此时在第一象限.当k=2n+1时，2nπ+π＜＜+2nπ，n∈Z，此时在第三象限，∴tan恒正.∴tan=.∴应选A.答案：A4.若cosθ=，且270°＜θ＜360°，则cos的值为（）A.B.C.±D.-解析：∵270°＜θ＜360°，∴135°＜＜180°.∴cos=.∴应选D.答案：D5.若cosα=，则sin的值为（）A.B.-C.±D.±解析：∵cosα=，∴α是一、四象限角.当α是一象限角时，为一、三象限角，α是四象限角时，是二、四象限角，故sin=±=±.∴应选C.答案：C6.已知sinθ=-，3π＜θ＜，则tan=___________.解析：∵sinθ=-，又∵3π＜θ＜，∴cosθ=.∴tan=.答案：-3综合运用7.若方程sinx+cosx+2a-1=0，在［0，π］上有两个不相等的实数根，则实数α的取值范围是(）A.［，2］B.（，2）C.［-，］D.（-，］解析：将方程变形为：2（sinx+cosx）=1-2a，即：sin（x+）=令y1=sin（x+）.y2=，z=x+.∵x∈［0，π］，则z∈［，π］.如下图所示：当≤＜1时，直线y2=与y1=sin（x+）的图象有两个交点，即当-＜a≤时，两个图象有两个交点，也就是方程sinx+cosx=1-2a有两个实根，∴a∈（-，］，∴应选D.答案：D8.已知sin-cos=-，450°＜α＜540°，则tan=___________解析：将sin-cos=-.两边平方得，1-sinα=，解得：sinα=，∵450°＜α＜540°，∴cosα=-.∴tan=答案：29.已知函数f（x）=5sinxcosx-5cos2x+（x∈R），求f（x）图象的对称轴、对称中心.解：f（x）=sin2x-×=sin2x-cos2x=5（sin2x-cos2x）=5（sin2xcos-cos2xsin）=5sin（2x-）令2x-=kπ+，得x=kπ+.k∈Z，即函数f（x）的对称轴方程是x=kπ+，k∈Z.令2x-=kπ，得x=kπ+，k∈Z，即函数f（x）的对称中心是（kπ+，0），k∈Z.拓展探究10.若函数f(x)=+sinx+a2sin(x+)的最大值为+3，试确定常数a的值.解：f（x）=+sinx+a2sin（x+）=cosx+sinx+a2sin（x+）=sin（x+）+a2sin（x+）=（2+a2）sin（x+）.当sin（x+）=1时，f（x）取得最大值+a2.∴+a2=+3.解得a=±3.备选习题11.已知cos（α+β）=，cos（α-β）=，则sinαsinβ=___________解析：∵cos（α+β）=，cos（α-β）=，∴由②-①得：2sinαsinβ=，∴sinαsinβ=.答案：12.化简：=___________.解析：原式=.答案：cot13.已知sin（α+β）=，sin（α-β）=.求证：（1）sinαcosβ=5cosαsinβ；（2）tanα=5tanβ.证明：（1）由已知得，sinαcosβ+cosαsinβ=，①sinαcosβ-cosαsinβ=.②由①+②得：sinαcosβ=，①-②得：cosαsinβ=，∴sinαsinβ=5cosαsinβ.（2）由sinαcosβ=5cosαsinβ，两边同除以cosαcosβ得：tanα=5tanβ，问题得证.14.已知函数f（x）=-（sinx+cosx）2+2cos2x，x∈［0，］.（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的最小值.解：f（x）=（cos2x-sin2x）-2sinxcosx=cos2x-sin2x=2cos（2x+）.（1）最小正周期是π.（2）由x∈［0，］得，2x+∈［，］，所以当2x+=π，即x=时，f（x）的最小值为.15.求函数f（x）=cos2x+sin2x-4sinx·cosx（≤x≤）的最小值，并求取得最小值时x的值.解：由降幂公式和倍角公式，得f（x）=-2sin2x=2cos2x-2sin2x+3=4cos（2x+）+3.∵≤x≤，≤2x+≤，∴-≤cos（2x+）≤-.∴f(x)的最小值是，此时x=.16.若函数f(x)=-asincos（π-）的最大值为2，试确定常数a的值.解：f（x）=+asincos=cosx+sinx=sin（x+φ），其中角φ满足sinφ=，由已知有+=4.解之得，a=±.
