3.2简单的三角恒等变换2课后集训基础达标1.函数y=sin2xcos2x是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数解析:y=sin4x,周期T==.∵y=2sin2xcos2x的定义域为R,且f(-x)=sin(-4x)=-sin4x.∴y=sin2xcos2x是奇函数.∴应选A.答案:A2.化简4cos2α÷(-tan)等于()A.sinαcosαB.sin2αC.-sin2αD.2sin2α解析:原式=4cos2α÷=4cos2α·=4cos2α··tanα=4cos2α··=2sinαcosα=sin2α答案:B3.已知sin2α=,α∈(,)则cosα-sinα的值是()A.-B.C.D.解析:∵(cosα-sinα)2=1-sin2α=1-=,α∈(,).∴cosα<sinα,∴cosα-sinα=-.∴应选A.答案:A4.化简(sin+cos)2+2sin2(-)得()A.2+sinαB.2+sin(α-)C.2D.2+sin(α+)解析:原式=1+sinα+1-cos2(-)=1+sinα+1-cos(-α)=2.∴应选C.答案:C5.如果|cosθ|=,π<θ<3π,则sin的值是()A.-B.C.-D.解析:∵π<θ<3π,∴cosθ=.又∵<<,∴sin==.∴应选C.答案:C6.化简=______________.解析:原式==2|sin4+cos4|+2|cos4|.∵π<4<,∴cos4<0,sin4<0,sin4+cos4<0,∴原式=-2sin4-2cos4-2cos4=-2sin4-4cos4.答案:-2sin4-4cos4综合运用7.已知f(x)=,当π<θ<时,f(sin2θ)-f[sin(-2θ)]的值为()A.2sinθB.2cosθC.-2sinθD.-2cosθ解析:原式====|sinθ+cosθ|-|sinθ-cosθ|.∵π<θ<,∴sinθ<0,cosθ<0,sinθ+cosθ<0,且sinθ>cosθ即sinθ-cosθ>0.∴原式=-(sinθ+cosθ)-(sinθ-cosθ)=-2sinθ.∴应选C.答案:C8.函数f(x)=(sinx+cosx)的单调递增区间是()A.(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)B.(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)C.(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)D.(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)解析:原函数可化为f(x)=2(sinx+cosx)=2+logsin(x+).∵sin(x+)>0,∴2kπ<x+<2kπ+π(k∈Z),而<1,故使函数递增,必有2kπ+<x+<2kπ+π(k∈Z).∴2kπ+<x<2kπ+(k∈Z).∴故选C.答案:C9.已知sinθ、cosθ是方程4x2+26x+m=0的两根,求:(1)实数m的值;(2)sin3θ+cos3θ的值.解:(1)∵sinθ、cosθ是方程4x2+2x+m=0的两根.∴解得m=1.(2)∴∴sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=-×(1-)=.拓展探究10.已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),α∈(0,π),β∈(π,2π),a与c的夹角为θ1,b与c的夹角为θ2,且θ1-θ2=.求sin的值.思路分析:解题目标——找出θ1、θ2与α、β的联系,不妨利用a·b=|a||b|cosθ试试解:∵α∈(0,π),β∈(π,2π),∴|a|==2|cos|=2cos,|b|==2|sin|=2sin,|c|=1,a·c=1+cosα=2cos2,b·c=1-cosβ=2sin2,∴cosθ1=.∵θ1∈[0,π],∈(0,)[0,π],y=cosx的值在[0,π]上与x的值一一对应,∴θ1=.cosθ2==sin=cos(-),∵θ2∈[0,π],-∈(0,)(0,π),y=cosx的值在[0,π]上与x的值一一对应,∴θ2=-.又θ1-θ2=,∴-+=,∴=-,∴sin=sin(-)=-.备选习题11.给出下列命题:①存在实数α,使sinαcosα=1;②存在实数α,使sinα+cosα=;③y=sin(-2x)是偶函数;④x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴方程;⑤若α、β是第一象限角,且α>β,则tanα>tanβ.其中正确命题的序号是_________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)解析:对于①可化为sin2α=2,不成立.对于②可化为sin(α+)=>1,不成立;对于③可化为y=sin(2π+-2x)=sin(-2x)=cos2x,显然成立;对于④把x=代入得y=sin(2×+)=sin=-1,显然成立;对于⑤,不妨取α=,β=,此时tan=1,tanβ=,显然不成立,综上可知③④成立.答案:③④12.已知tan(+θ)=3,求sin2θ-2cos2θ的值.解法1:∵tan(+θ)=3,∴=3,∴1+tanθ=3-3tanθ,∴4tanθ=2,∴tanθ=.∴1+tan2θ=1+==,∴cos2θ=.sin2θ=1-=.∵tanθ=,∴θ是一、三象限角,∴sinθ、cosθ同号,∴sin2θ=2sinθ·cosθ=2(±)(±)=.∴sin2θ-2cos2θ=-2×=-.解法2:由上解法知:tanθ=,∴sin2θ-2cos2θ=2sinθcosθ-2cos2θ==.13.(1)求值:sin·sin·sin;(2)已知sin10°=a,求的值.解:(1)原式===(2)∵sin10°=a,∴原式=======32a.14.已知2tanA=3tanB.求证:tan(A-B)=.证明:由2tanA=3tanB,知tanA=tanB.∴tan(A-B)====15.求函数y=x+4+的最大值与最小值.解:∵x2≤5,∴|x|≤.设x=cosα,其中0≤α≤π,则y=cosα+4+=cosα+sinα+4=(sinα+cosα)+4=sin(α+)+4.∴0≤α≤π,∴≤α+≤.∴当α=时,即x=时,函数y有最大值+4;当α=π时,即x=-时,函数y有最小值4-.