3.2简单的三角恒等变换2课后集训基础达标1.函数y=sin2xcos2x是（）A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数解析：y=sin4x，周期T==.∵y=2sin2xcos2x的定义域为R,且f(-x)=sin(-4x)=-sin4x.∴y=sin2xcos2x是奇函数.∴应选A.答案：A2.化简4cos2α÷(-tan)等于（）A.sinαcosαB.sin2αC.-sin2αD.2sin2α解析：原式=4cos2α÷=4cos2α·=4cos2α··tanα=4cos2α··=2sinαcosα=sin2α答案：B3.已知sin2α=，α∈（，）则cosα-sinα的值是（）A.-B.C.D.解析：∵（cosα-sinα）2=1-sin2α=1-=，α∈（，）.∴cosα＜sinα,∴cosα-sinα=-.∴应选A.答案：A4.化简(sin+cos)2+2sin2(-)得（）A.2+sinαB.2+sin(α-)C.2D.2+sin(α+)解析：原式=1+sinα+1-cos2(-)=1+sinα+1-cos(-α)=2.∴应选C.答案：C5.如果|cosθ|=，π＜θ＜3π，则sin的值是（）A.-B.C.-D.解析：∵π＜θ＜3π，∴cosθ=.又∵＜＜,∴sin==.∴应选C.答案：C6.化简=______________.解析：原式==2|sin4+cos4|+2|cos4|.∵π＜4＜,∴cos4＜0,sin4＜0,sin4+cos4＜0,∴原式=-2sin4-2cos4-2cos4=-2sin4-4cos4.答案：-2sin4-4cos4综合运用7.已知f(x)=,当π＜θ＜时,f(sin2θ)-f［sin(-2θ)］的值为（）A.2sinθB.2cosθC.-2sinθD.-2cosθ解析：原式====|sinθ+cosθ|-|sinθ-cosθ|.∵π＜θ＜,∴sinθ＜0,cosθ＜0,sinθ+cosθ＜0,且sinθ＞cosθ即sinθ-cosθ＞0.∴原式=-(sinθ+cosθ)-(sinθ-cosθ)=-2sinθ.∴应选C.答案：C8.函数f(x)=(sinx+cosx)的单调递增区间是（）A.(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)B.(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)C.(2kπ+,2kπ+)(k∈Z)D.(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)解析：原函数可化为f(x)=2(sinx+cosx)=2+logsin(x+).∵sin(x+)＞0,∴2kπ＜x+＜2kπ+π(k∈Z),而＜1，故使函数递增，必有2kπ+＜x+＜2kπ+π（k∈Z）.∴2kπ+＜x＜2kπ+(k∈Z).∴故选C.答案：C9.已知sinθ、cosθ是方程4x2+26x+m=0的两根，求：（1）实数m的值；（2）sin3θ+cos3θ的值.解：(1)∵sinθ、cosθ是方程4x2+2x+m=0的两根.∴解得m=1.(2)∴∴sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=-×(1-)=.拓展探究10.已知向量a=（1+cosα，sinα），b=（1-cosβ，sinβ），c=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=.求sin的值.思路分析：解题目标——找出θ1、θ2与α、β的联系，不妨利用a·b=|a||b|cosθ试试解：∵α∈（0，π），β∈（π，2π），∴|a|==2|cos|=2cos，|b|==2|sin|=2sin，|c|=1，a·c=1+cosα=2cos2，b·c=1-cosβ=2sin2，∴cosθ1=.∵θ1∈［0，π］，∈（0，）［0，π］，y=cosx的值在［0，π］上与x的值一一对应，∴θ1=.cosθ2==sin=cos（-），∵θ2∈［0，π］，-∈（0，）（0，π），y=cosx的值在［0，π］上与x的值一一对应，∴θ2=-.又θ1-θ2=，∴-+=，∴=-，∴sin=sin（-）=-.备选习题11.给出下列命题:①存在实数α,使sinαcosα=1;②存在实数α,使sinα+cosα=;③y=sin(-2x)是偶函数;④x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴方程;⑤若α、β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ.其中正确命题的序号是_________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)解析：对于①可化为sin2α=2,不成立.对于②可化为sin(α+)=＞1,不成立;对于③可化为y=sin(2π+-2x)=sin(-2x)=cos2x,显然成立;对于④把x=代入得y=sin(2×+)=sin=-1,显然成立;对于⑤,不妨取α=,β=,此时tan=1,tanβ=,显然不成立,综上可知③④成立.答案：③④12.已知tan(+θ)=3,求sin2θ-2cos2θ的值.解法1：∵tan(+θ)=3,∴=3,∴1+tanθ=3-3tanθ,∴4tanθ=2,∴tanθ=.∴1+tan2θ=1+==,∴cos2θ=.sin2θ=1-=.∵tanθ=,∴θ是一、三象限角，∴sinθ、cosθ同号，∴sin2θ=2sinθ·cosθ=2（±）(±)=.∴sin2θ-2cos2θ=-2×=-.解法2：由上解法知：tanθ=，∴sin2θ-2cos2θ=2sinθcosθ-2cos2θ==.13.(1)求值:sin·sin·sin；（2）已知sin10°=a,求的值.解：(1)原式===(2)∵sin10°=a,∴原式=======32a.14.已知2tanA=3tanB.求证:tan(A-B)=.证明：由2tanA=3tanB,知tanA=tanB.∴tan(A-B)====15.求函数y=x+4+的最大值与最小值.解：∵x2≤5,∴|x|≤.设x=cosα,其中0≤α≤π,则y=cosα+4+=cosα+sinα+4=(sinα+cosα)+4=sin(α+)+4.∴0≤α≤π,∴≤α+≤.∴当α=时,即x=时,函数y有最大值+4;当α=π时,即x=-时,函数y有最小值4-.
