3.2简单的三角恒等变换选题明细表知识点、方法题号半角公式及应用1,2,4化简求值、证明问题5,6,8,9与三角函数性质有关问题3,7,10,12三角函数在实际问题中的应用11,13基础巩固1.设π<θ<π,cosθ=a,则sin等于(B)(A)(B)(C)-(D)-解析:因为π<θ<π,所以<<π,所以sin>0,所以sin==.故选B.2.(2018·丹东市期末)已知tan60°=m,则cos120°的值是(B)(A)(B)(C)(D)-解析:因为tan60°=m,则cos120°====.3.若cosα=-,α是第三象限的角,则等于(A)(A)-(B)(C)2(D)-2解析:因为α是第三象限角,cosα=-,所以sinα=-.所以===·===-.4.+2的化简结果是(A)(A)2cos4-4sin4(B)2sin4(C)2sin4-4cos4(D)-2sin4解析:原式=+2=×+2=2|sin4|+2|sin4-cos4|.因为sin4<0,sin40,求实数m的取值范围.解:(1)由题意得,f(x)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x+=cos2x+sin2x-cos2x+=sin(2x-)+,所以函数f(x)的最小正周期T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)当t∈[,]时,可得2t-∈[0,],解得f(t)=sin(2t-)+∈[,+1]⇒F(t)=[f(t)]2-2f(t)=[f(t)-]2-2∈[-2,-1].存在t∈[,],满足F(t)-m>0的实数m的取值范围为(-∞,-1).探究创新13.点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?解:如图,连接PB.因为AB为圆的直径,所以∠APB=90°,因为∠PAB=α,AB=1,所以PB=sinα,PA=cosα.又PT切圆于P点,则∠TPB=∠PAB=α.所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sinα=sinα·cosα+sin2α.=sin2α+(1-cos2α).=sin(2α-)+.因为0<α<,-<2α-<π,所以当2α-=,即α=π时,四边形ABTP的面积最大.
