高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 函数奇偶性的概念课后训练 新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题VIP专享VIP免费

1.3函数的基本性质函数奇偶性的概念课后训练千里之行始于足下1．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有()．A．f(x)－f(－x)>0B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0D．f(x)·f(－x)>02．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()．A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C．f(x)－f(－x)是偶函数D．f(x)＋f(－x)是偶函数3．若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于()．A．－2B．－1C．1D．24．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点()．A．(a，f(－a))B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a))D．5．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(－2a－3≤x≤1)是偶函数，则a＝________，b＝________.6．已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．7．如图是偶函数f(x)的x≥0时的图象，请作出x<0时的图象．8．已知f(x)＝(m2－1)x2＋(m－1)x＋n＋2，问m，n为何值时，f(x)为奇函数？百尺竿头更进一步设a为实数，函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，x∈R.(1)讨论f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值．答案与解析1.答案：C解析：对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故选C.2.答案：D解析：用奇偶性定义判断．设g(x)＝f(x)＋f(－x)，则g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴f(x)＋f(－x)是偶函数，∴选D.3.答案：C解析：利用定义求值．∵f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．即(－x＋1)(－x－a)＝(x＋1)(x－a)，∴x·(a－1)＝x·(1－a)，故1－a＝0，∴a＝1，故选C.4.答案：C解析：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．∴选C.5.答案：－10解析：∵f(x)是偶函数，∴其定义域关于原点对称，∴－2a－3＝－1，∴a＝－1.∴f(x)＝－x2＋bx＋c.∵f(－x)＝f(x)，∴－(－x)2＋b(－x)＋c＝－x2＋bx＋c.∴－b＝b，∴b＝0.6.答案：0解析：偶函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称．因此，若一根为x1，则它关于y轴对称的根为－x1；若一根为x2，则它关于y轴对称的根为－x2，故f(x)＝0的四根之和为x1＋(－x1)＋x2＋(－x2)＝0.7.解：偶函数的图象关于y轴对称，由对称性可以作出函数f(x)的x<0时的图象，如图中y轴左边的部分．8.解：可以利用定义f(－x)去求m，n；也可以取特殊值求m，n.已知f(x)为定义在R上的奇函数，令x＝0，得f(0)＝n＋2＝0，得n＝－2.取特殊值，令x＝－1，x＝1，则f(－1)＋f(1)＝(m2－1＋1－m)＋(m2－1＋m－1)＝2(m2－1)＝0，得m＝±1.又由于m＝1，n＝－2时，f(x)＝0，既为奇函数又为偶函数，舍去．所以，当m＝－1，n＝－2时，f(x)为奇函数．百尺竿头更进一步解：(1)当a＝0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)．此时f(x)为偶函数；当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，∴f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)，此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)①当x≤a时，函数，若，则函数f(x)在(－∞，a]上单调递减，∴函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为f(a)＝a2＋1；若，则函数f(x)在(－∞，a]上的最小值为，且．②当x≥a时，函数，若，则函数f(x)在[a，＋∞)上最小值为，且；若，则函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)在[a，＋∞)上的最小值是f(a)＝a2＋1.综上，当时，函数f(x)的最小值是，当时，函数f(x)的最小值是a2＋1，当时，函数f(x)的最小值是.