【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第3章三角恒等变换2.1两角差的余弦函数2.2两角和与差的正弦、余弦函数学业分层测评北师大版必修4(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．化简sin(x＋y)·sin(x－y)＋cos(x＋y)·cos(x－y)的结果是()A．sin2xB．cos2yC．－cos2xD．－cos2y【解析】原式＝cos[(x＋y)－(x－y)]＝cos2y.【答案】B2．若sinx＋cosx＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是()A．－B．－C.D．【解析】sinx＋cosx＝cosx·cos＋sinx·sin＝cos，故φ的一个可能的值为－.【答案】A3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sinB·cosC，那么这个三角形一定是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【解析】sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，由sin(B＋C)＝2sinBcosC，得cosBsinC＝sinBcosC，所以cosBsinC－sinBcosC＝0，即sin(C－B)＝0，所以C＝B，故为等腰三角形．【答案】D4．α，β都是锐角，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝()A．B．C.D．【解析】∵α，β都是锐角，∴cosα＝＝，sin(α＋β)＝＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝.【答案】B5．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，若AC·BC＝－1，则sin等于()A．B．C.D．【解析】AC＝(cosα－3，sinα)，BC＝(cosα，sinα－3)，∴AC·BC＝(cosα－3)cosα＋sinα(sinα－3)＝cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝1－3(sinα＋cosα)＝－1，∴3(sinα＋cosα)＝2，∴3sin＝2，∴sin＝.【答案】B二、填空题6．cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝________.【导学号：66470069】【解析】cos(α－35°)·cos(25°＋α)＋sin(α－35°)·sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝.【答案】7．(2016·合肥高一检测)已知α，β均为锐角，满足cosα＝，sinβ＝，则cos(α－β)＝________.【解析】因为α，β均为锐角，所以sinα＝＝，cosβ＝＝，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.【答案】8．已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.【解析】由cos(α＋β)＝sin(α－β)，得cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ，(cosα－sinα)(cosβ＋sinβ)＝0.因为α，β均为锐角，所以cosβ＋sinβ>0，所以cosα－sinα＝0，即tanα＝1.【答案】1三、解答题9．已知cos＝，求cos－sin2的值．【解】原式＝cos－sin2＝－cos－sin2＝－cos－1＋cos2＝－－1＋2＝－.10．已知0<β<，<α<，cos＝，sin＝.求sin(α＋β)的值．【解】∵<α<，∴－<－α<0，∴sin＝－＝－.又∵0<β<，∴<＋β<π，∴cos＝－＝－.∴sin(α＋β)＝－cos＝－cos＝－coscos－sin·sin＝－×－×＝.[能力提升]1．已知0<α<<β<π，又sinα＝，cos(α＋β)＝－，则sinβ＝()A．0B．0或C.D．【解析】∵0<α<<β<π，sinα＝，cos(α＋β)＝－，∴cosα＝，sin(α＋β)＝或－，∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cosα－cos(α＋β)·sinα＝或0.∵<β<π，∴sinβ＝.【答案】C2.＝________.【解析】原式＝＝＝tan15°＝＝＝2－.【答案】2－3．(2016·西安高一检测)△ABC中，AB＝(cos18°，cos72°)，BC＝(2cos63°，2cos27°)，则B＝________.【解析】∵AB＝(cos18°，cos72°)，∴BA＝(－cos18°，－sin18°)．∴|BA|＝＝1.BC＝(2sin27°，2cos27°)，∴|BC|＝2.∴cosB＝＝＝－sin(27°＋18°)＝－sin45°＝－.∵B是△ABC的内角，∴B＝.【答案】4．已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若0<α<，－<β<0，且sinβ＝－，求sinα.【解】(1)∵|a|＝1，|b|＝1，|a－b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝|a|2＋|b|2－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－2cos(α－β)．又∵|a－b|2＝2＝，∴2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.(2)∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，由cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝.由sinβ＝－，得cosβ＝，∴sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝×＋×＝.
